Комплекс Кошуля

Компле́кс Кошу́ля — цепной комплекс, строящийся для заданного линейного отображения для построения теории гомологий. Впервые введён Жан-Луи Кошулем (фр. Jean-Louis Koszul) чтобы определить теорию когомологий алгебр Ли, впоследствии оказался полезной общей конструкцией гомологической алгебры в целом, в частности, его гомологии могут быть использованы для того, чтобы определить, является ли последовательность элементов кольца ${\displaystyle M}$-регулярной^[англ.], и, как следствие, он может быть использован для того, чтобы доказать базовые свойства глубины^[англ.] модуля или идеала.

Для коммутативного кольца ${\displaystyle R}$, свободный ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle E}$ конечного ранга ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle R}$-линейного отображения ${\displaystyle s\colon E\to R}$ кошулев комплекс, ассоциированный с ${\displaystyle s}$, определяется как цепной комплекс:

${\displaystyle K_{\bullet }(s)\;\colon \;0\xrightarrow {\quad } {\textstyle \bigwedge }^{r}E\xrightarrow {\ d_{r}\ } {\textstyle \bigwedge }^{r-1}E\xrightarrow {\quad } \cdots \xrightarrow {\quad } \textstyle \bigwedge ^{1}E\xrightarrow {\ d_{1}\ } R\xrightarrow {\quad } 0}$,

в котором дифференциал ${\displaystyle d_{k}}$ задаётся по правилу: для любых ${\displaystyle e_{i}}$ из ${\displaystyle E}$:

${\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i}}}\wedge \cdots \wedge e_{k}}$

(${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{i}E}$ — ${\displaystyle i}$-я внешняя степень ${\displaystyle E}$; надстрочный знак в ${\displaystyle {\widehat {e_{i}}}}$ означает, что сомножитель пропускается). ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{1}E=E}$, а ${\displaystyle d_{1}=s}$. Имеет место изоморфизм ${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{r}E\simeq R}$, но он не канонический, например, выбор формы объёма в дифференциальной геометрии — пример такого изоморфизма.

Если ${\displaystyle E=R^{r}}$ (то есть выбран базис), то задание ${\displaystyle R}$-линейного отображения ${\displaystyle s\colon R^{r}\to R}$ эквивалентно заданию конечной последовательности ${\displaystyle s_{1},\dots ,s_{r}}$ элементов ${\displaystyle R}$ (вектор-строки) и в этом случае обозначают ${\displaystyle K_{\bullet }(s_{1},\dots ,s_{r})=K_{\bullet }(s)}$.

Если ${\displaystyle M}$ — конечно порождённый ${\displaystyle R}$-модуль, полагают:

${\displaystyle K_{\bullet }(s,M)=K_{\bullet }(s)\otimes _{R}M}$.

${\displaystyle i}$-е гомологии кошулева комплекса:

${\displaystyle \operatorname {H} _{i}(K_{\bullet }(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_{i+1}\otimes 1_{M})}$

называются ${\displaystyle i}$-ми гомологиями Кошуля. Например, если ${\displaystyle E=R^{r}}$ и ${\displaystyle s=[s_{1}\cdots s_{r}]}$ — вектор-строка из элементов ${\displaystyle R}$, то дифференциал комплекса Кошуля ${\displaystyle d_{1}\otimes 1_{M}}$ есть:

${\displaystyle s\colon M^{r}\to M,\,(m_{1},\dots ,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{r}}$

и

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(K_{\bullet }(s,M))=M/(s_{1},\dots ,s_{r})M=R/(s_{1},\dots ,s_{r})\otimes _{R}M}$.

Также:

${\displaystyle \operatorname {H} _{r}(K_{\bullet }(s,M))=\{m\in M\mid s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r}m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M)}$.

Если ${\displaystyle k}$ — поле, ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{d}}$ — неизвестные и ${\displaystyle R}$ — кольцо многочленов ${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{d}]}$, комплекс Кошуля ${\displaystyle K_{\bullet }(X_{i})}$ последовательности ${\displaystyle (X_{i})}$ является конкретным примером свободной резольвенты ${\displaystyle R}$-модуля ${\displaystyle k}$.

Комплексы Кошуля малых размерностей

Если даны элемент ${\displaystyle x}$ кольца ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle M}$, умножение на ${\displaystyle x}$ даёт гомоморфизм ${\displaystyle R}$-модулей ${\displaystyle M\to M}$. Если рассматривать его как цепной комплекс (сосредоточенный в степенях 1 и 0), он обозначается ${\displaystyle K(x,M)}$, его гомологии равны:

${\displaystyle H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm=0\}}$.

Таким образом, комплекс Кошуля и его гомологии хранят основную информацию о свойствах умножения на ${\displaystyle x}$.

Цепной комплекс ${\displaystyle K_{\bullet }(x)}$ называется комплексом Кошуля элемента ${\displaystyle x}$ кольца ${\displaystyle R}$. Если ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ — элементы ${\displaystyle R}$, комплекс Кошуля последовательности ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$, обычно обозначаемый ${\displaystyle K_{\bullet }(x_{1},\dots ,x_{n})}$, есть тензорное произведение ${\displaystyle K_{\bullet }(x_{1})\otimes K_{\bullet }(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet }(x_{n})}$ кошулевых комплексов для каждого ${\displaystyle i}$.

Комплекс Кошуля для пары ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$ имеет вид:

${\displaystyle 0\xrightarrow {\quad } R\xrightarrow {\ d_{2}\ } R^{2}\xrightarrow {\ d_{1}\ } R\xrightarrow {\quad } 0}$,

где матрицы ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ задаются как:

${\displaystyle d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}}$.

Тогда циклы степени 1 — это в точности линейные соотношения между элементами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, тогда как границы — это тривиальные соотношения. Первые гомологии Кошуля ${\displaystyle H_{1}(K_{\bullet }(x,y))}$, таким образом, описывают соотношения по модулю тривиальных соотношений.

В случае, когда элементы ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ образуют регулярную последовательность, все высшие гомологии Кошуля зануляются.

Литература

• David Eisenbud. Commutative Algebra. With a view toward algebraic geometry (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.