Коэффициенты формул численного дифференцирования

В математике для приближённого вычисления производных заданной таблично функции можно искать выражение значений производных через известные значения функции с помощью подходящего набора коэффициентов. Для этого можно использовать различные интерполяционные формулы или метод неопределённых коэффициентов.

Равноотстоящие узлы

Пусть ${\displaystyle x_{0}}$ — точка, в которой необходимо вычислить производные достаточно гладкой функции ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle x_{k}=x_{0}+kh}$ — сетка равноотстоящих узлов с шагом ${\displaystyle h}$ и известны значения функции ${\displaystyle f}$ в этих узлах. В этом случае можно выразить формулы численного дифференцирования непосредственно через значения функции ${\displaystyle f}$ с помощью интерполяционной формулы Лагранжа. Такие формулы называются также безразностными, так как не требуют вычисления конечных или разделённых разностей^[1].

В зависимости от расположения точки ${\displaystyle x_{0}}$ в сетке узлов (слева, справа или посередине) различают соответственно коэффициенты, вычисленные «вперёд», «назад» и симметричные коэффициенты.

Симметричные коэффициенты

Для получения симметричных коэффициентов число узлов в сетке должно быть нечётным. Тогда порядок погрешности приближения будет чётным числом.

Порядок производной	Порядок погрешности	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
1	2					−1/2	0	1/2
	4				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	8		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					1	−2	1
	4				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	8		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	1	0	−1	1/2
	4			1/8	−1	13/8	0	−13/8	1	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
4	2				1	−4	6	−4	1
	4			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	4		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			1	−6	15	−20	15	−6	1
	4		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Например, третья производная с погрешностью второго порядка вычисляется как

${\displaystyle f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$

Коэффициенты вперёд

Порядок производной	Порядок погрешности	0	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	−1	1
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	4	−25/12	4	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	1	1	−2	1
	2	2	−5	4	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	4	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	1	−1	3	−3	1
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	4	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
4	1	1	−4	6	−4	1
	2	3	−14	26	−24	11	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	4	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,}$

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$

Нетрудно видеть, что коэффициенты для погрешности первого порядка представляют собой биномиальные коэффициенты с меняющимися знаками, что соответствует общей формуле для восходящих конечных разностей.

Коэффициенты назад

Для получения коэффициентов назад необходимо обратить знаки у коэффициентов вперёд для производных нечётных порядков и зеркально отразить таблицу коэффициентов справа налево:

Порядок производной	Порядок погрешности	−5	−4	−3	−2	−1	0
1	1					−1	1
	2				1/2	−2	3/2
	3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	1				1	−2	1
	2			−1	4	−5	2
3	1			−1	3	−3	1
	2		3/2	−7	12	−9	5/2
4	1		1	−4	6	−4	1
	2	−2	11	−24	26	−14	3

Например, первая производная с погрешностью третьего порядка и вторая производная с погрешностью второго порядка вычисляются как

${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\left(h^{3}\right)~,}$

${\displaystyle f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)~.}$

Произвольная сетка узлов

Для получения коэффициентов для произвольно расположенных узлов ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{N}}$ удобно использовать метод неопределённых коэффициентов^[2]. Для этого значение искомой производной порядка ${\displaystyle k}$ в точке ${\displaystyle x_{j}}$ записывается в виде

${\displaystyle f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,}$

где

${\displaystyle c_{i}}$ — неизвестные коэффициенты,

${\displaystyle R}$ — остаточный член интерполяции.

Коэффициенты ${\displaystyle c_{i}}$ подбираются из условия ${\displaystyle R(f)=0}$, которое должно выполняться для функций ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x^{2}}$,..., ${\displaystyle x^{N}}$. Получается следующая система линейных уравнений:

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&1&\ldots &1\\x_{0}&x_{1}&\ldots &x_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\ldots &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{k}&\ldots &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\ldots &x_{N}^{k+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\\\vdots \\c_{N}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k+1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{N-k}\end{array}}\right)~.}$

В этом случае погрешность вычислений будет иметь порядок ${\displaystyle N-k+1}$.

Матрица системы является матрицей Вандермонда, которая также возникает при решении общей задачи интерполяции многочленами.