Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Определитель Вандермонда

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Определитель Вандермонда — выражение вида

где  — элементы некоторого поля. Матрицей Вандермонда называется либо матрица [1][2], либо её транспонированная версия [3][4][5][6]. Матрица и её определитель названы в честь французского математика А. Т. Вандермонда[7].

Определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара такая, что [8].

Remove ads

Доказательство

Суммиров вкратце
Перспектива
Remove ads

Свойства

Матрица Вандермонда представляет собой частный случай альтернативной матрицы, в которой .

Если  — первообразный корень -й степени из единицы и  — матрица Вандермонда с элементами , то обратная матрица с точностью до диагональной матрицы имеет вид : .

Remove ads

Применение

Определитель Вандермонда имеет многочисленные применения в разных областях математики. Например, при решении задачи интерполяции многочленами, то есть задачи о нахождении многочлена степени , график которого проходит через заданных точек плоскости с абсциссами , определитель Вандермонда возникает как определитель системы линейных уравнений, из которой находятся неизвестные коэффициенты искомого многочлена[2].

Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда

Быстрое умножение вектора на матрицу Вандермонда эквивалентно нахождению значений многочлена и может быть вычислено за операций, где  — затраты на умножения двух полиномов[10]. Метод быстрого нахождения значений многочлена основывается на том факте, что . С использованием алгоритма быстрого умножения многочленов, такого как метод умножения Шёнхаге — Штрассена, и с применением парадигмы «разделяй и властвуй» за умножений многочленов (и операций по модулю многочленов) строится дерево, листьями которого будут многочлены (значения) , а корнем дерева будет многочлен [11].

Remove ads

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads