Линейная частотная модуляция

Лине́йная часто́тная модуля́́ция (ЛЧМ) сигнала — это вид частотной модуляции, при которой частота несущего сигнала в зависимости от времени изменяется по линейному закону.

Математическое описание

Во временной области

Сигнал ЛЧМ в течение цикла нарастания частоты

Изменение частоты ${\displaystyle f(t)}$ внутри импульсов с ЛЧМ происходит по линейному закону:

${\displaystyle f(t)=f_{0}+b\cdot t,\quad -{\frac {T_{\text{c}}}{2}}\leqslant t\leqslant {\frac {T_{\text{c}}}{2}},}$

где ${\displaystyle f_{0}}$ — начальная частота сигнала;

${\displaystyle b=(F_{\text{max}}-f_{0})/T_{\text{c}};\ }$ ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ — длительность сигнала;

${\displaystyle F_{\text{max}}}$ — максимальное значение частоты сигнала.

Если Фаза сигнала с ЛЧМ определяется как:

${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \int \limits _{0}^{t}f(t)\,dt=2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right),}$

тогда ЛЧМ сигнал может быть описан выражением:

${\displaystyle s(t)=S_{0}\cos\{\varphi _{0}+\varphi (t)\}=S_{0}\cos \left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\},}$

или в комплексном виде:

${\displaystyle s(t)=S_{0}e^{j\left[\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right]},}$

где ${\displaystyle S_{0}}$ — амплитуда сигнала;

${\displaystyle j}$ — мнимая единица;

${\displaystyle \varphi _{0}}$ — начальная фаза.

В частотной области

Спектр ЛЧМ:

${\displaystyle {\begin{cases}S(\omega )={\begin{cases}{\frac {A_{0}}{2}}{\sqrt {\frac {T_{c}}{\Delta F_{m}}}},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\varphi (\omega )={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{4}}-{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2\Delta \Omega _{M}}}T_{c},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}.}$

Обработка

Сопоставление волна (wave) — вейвлет, ЛЧМ-сигнал (chirp) — чирплет

В обработке ЛЧМ сигналов чирплет-преобразование — это скалярное произведение входного сигнала на семейство элементарных математических функций, называемых чирплетами.

Генерация

• С помощью генератора управляемого напряжением (ГУН) при подаче пилообразного напряжения на его управляющий вход, но обычно ГУНы имеют нелинейную зависимость выходной частоты от управляющего напряжения.
• С помощью специализированных блоков — генераторов качающейся частоты (ГКЧ).
• Методом непосредственного цифрового синтеза (англ. DDS, direct digital synthesis), который можно реализовать, например:
  • с помощью специализированной микросхемы AD9910;
  • с помощью микросхемы 1508ПЛ8Т Архивная копия от 24 февраля 2009 на Wayback Machine: Предусмотрена возможность работы микросхем совместно с внешними схемами фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и ГУН для синтеза ЛЧМ-сигналов в диапазоне до нескольких гигагерц с сохранением высокой точности и скорости перестройки частоты.

Применение

ЛЧМ-сигналы применяются в радиолокации в качестве способа формирования и обработки зондирующего импульса. Применение ЛЧМ-сигнала позволяет повысить точность измерений дальности и скорости объекта в радиолокации.

См. также

• Чирплет
• Методы расширения спектра