Логарифмически выпуклое множество

Логарифми́чески вы́пуклое мно́жество (англ. logarithmically convex set) — понятие вещественного и комплексного анализа, разделов математики, множество комплексного пространства, логарифмический образ которого выпукл в вещественном пространстве^[1].

Выпуклая оболочка логарифмического образа несвязного множества

Определение логарифмически выпуклого множества

Логарифмический образ ${\displaystyle M^{*}}$ (англ. logarithmically image ${\displaystyle \log M}$) множества ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$ — множество

${\displaystyle M^{*}=\lambda (M_{0})}$,

где^[1]:

${\displaystyle \lambda \colon \{z\in \mathbb {C} ^{n}\colon z_{1}z_{2}\dots z_{n}\neq 0\}\to \mathbb {R} ^{n}\colon z\to \lambda (z)=(\operatorname {ln} |z_{1}|,\,\operatorname {ln} |z_{2}|,\,\dots ,\,\operatorname {ln} |z_{n}|),}$

${\displaystyle M_{0}=\{z\in M\colon z_{1}z_{2}\dots z_{n}\neq 0\}.}$

Другими словами, это следующее множество^[2]:

${\displaystyle M^{*}=\{\xi \colon \xi \in \mathbb {R} ^{n},\,(e^{\xi _{1}},\,e^{\xi _{2}},\,\dots ,\,e^{\xi _{n}})=(|z_{1}|,\,|z_{2}|,\,\dots ,\,|z_{n}|),\,(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})\in M\}.}$

Логарифмически выпуклое множество (англ. logarithmically convex set) — множество ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$ с выпуклым логарифмическим образом ${\displaystyle M^{*}\subset \mathbb {R} ^{n}}$^[1][3].

В терминах определения понятия «выпуклость» это определение перепишется следующим образом^[4][5]:

логарифмически выпуклое множество — множество ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$, которое вместе с двумя произвольными своими точками ${\displaystyle z'}$ и ${\displaystyle z''}$ содержит также и любые точки ${\displaystyle z}$, для которых

${\displaystyle \operatorname {ln} |z|=t\operatorname {ln} |z'|+(1-t)\operatorname {ln} |z''|,\quad }$ ${\displaystyle t\in (0,\,1).}$

Чтобы избежать не совсем удобных логарифмов, поскольку для ${\displaystyle z_{k}=0}$ получается ${\displaystyle \operatorname {ln} |z_{k}|=-\infty }$ при некоторых ${\displaystyle k}$, перепишем определение в следующем виде^[3]:

логарифмически выпуклое множество — множество ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$, которое вместе с двумя произвольными своими точками ${\displaystyle z'}$ и ${\displaystyle z''}$ содержит также и любые точки ${\displaystyle z}$

${\displaystyle |z|=|z'|^{t}|z''|^{1-t},\quad }$ ${\displaystyle t\in (0,\,1),}$

то есть

${\displaystyle |z_{k}|=|z'_{k}|^{t}|z''_{k}|^{1-t},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Логарифмически выпуклая оболочка множества (англ. logarithmically convex hull of set) ${\displaystyle {\hat {M}}_{L}}$ — пересечение всех логарифмически выпуклых множеств, содержащих исходное множество ${\displaystyle M}$, другими словами, наименьшее логарифмически выпуклое множество, содержащее исходное множество ${\displaystyle M}$^[1][6][3].

Например, для множества

${\displaystyle M=\{z\in \mathbb {C} ^{2};\,\max(|z_{1}|,\,|z_{2}|)<1,\,\min(|z_{1}|,\,|z_{2}|)<\epsilon \}}$

логарифмически выпуклая оболочка следующая^[6]:

${\displaystyle {\hat {M}}_{L}=\left\{z\in \mathbb {C} ^{2};\,\max \left(|z_{1}|,\,|z_{2}|,\,{\frac {|z_{1}z_{2}|}{\epsilon }}\right)<1\right\}.}$

Примеры

Пример 1

Этот пример взят из книги на русском языке, написанной русским математиком^[1].

Рассмотрим некоторое множество ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{2}}$ с диаграммой Рейнхарта ${\displaystyle \alpha (M)}$, показанной на рисунке ниже слева. Это множество не относится к логарифмически выпуклым. Логарифмический образ ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$ этого множества показана на рисунке ниже справа^[1].

• Диаграмма Рейнхарта и логарифмический образ в C×C
• 
  Диаграмма Рейнхарта логарифмически выпуклой оболочки ${\displaystyle \alpha ({\hat {M}}_{L})}$ некоторого множества ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ и выпуклая оболочка его логарифмического образа ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$

Прообраз выпуклой оболочки логарифмического образа ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$ есть логарифмически выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {M}}_{L}}$ множества ${\displaystyle M}$. Диаграммы Рейнхарта оболочки ${\displaystyle \alpha ({\hat {M}}_{L})}$ и исходного множества ${\displaystyle \alpha (M)}$ отличаются только сегментом, граница которого показан пунктиром на рисунке. Этот сегмент получен как прообраз треугольника, дополняющего логарифмический образ ${\displaystyle \lambda (M_{0})}$ до выпуклости. Гипотенуза этого треугольника есть отрезок прямой

${\displaystyle \operatorname {ln} |z_{2}|=\operatorname {ln} |r|+\operatorname {ln} |R|-\operatorname {ln} |z_{1}|}$,

поэтому сегмент выпуклости, добавленный к диаграмме Рейнхарта ${\displaystyle \alpha (M)}$, ограничен частью следующей гиперболы^[1]:

${\displaystyle |z_{2}||z_{1}|=|r||R|}$.

Пример 2

Этот и следующий примеры взяты из книги на английском языке, написанной голландскими математиками^[3].

Рассмотрим объединение ${\displaystyle S}$ двух следующих прямоугольников (см. рис. внизу слева)^[3]:

${\displaystyle S_{1}=\left\{(r_{1},\,r_{2})\in \mathbb {R} _{+}^{2}\colon r_{1}<2,\,r_{1}<{\frac {1}{2}}\right\},}$

${\displaystyle S_{2}=\left\{(r_{1},\,r_{2})\in \mathbb {R} _{+}^{2}\colon r_{1}<{\frac {1}{2}},\,r_{1}<2\right\}.}$

• Вещественная область и логарифмический образ в R×R
• 
  Логарифмически выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {S}}_{L}}$ некоторого множества ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{2}}$ и выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {S}}^{*}}$ его логарифмического образа ${\displaystyle S^{*}}$

Логарифмический образ ${\displaystyle S^{*}}$ множества ${\displaystyle S}$ есть объединение следующих квадрантов — логарифмических образов данных прямоугольников (см. рис. вверху справа):

${\displaystyle S_{1}^{*}=\left\{(\rho _{1},\,\rho _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\colon \rho _{1}<\operatorname {ln} 2,\,\rho _{2}<\operatorname {ln} {\frac {1}{2}}\right\},}$

${\displaystyle S_{2}^{*}=\left\{(\rho _{1},\,\rho _{2})\in \mathbb {R} ^{2}\colon \rho _{1}<\operatorname {ln} {\frac {1}{2}},\,\rho _{2}<\operatorname {ln} 2\right\}.}$

которые содержат точки с координатами ${\displaystyle -\infty }$^[3].

Выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {S}}^{*}}$ множества ${\displaystyle S^{*}}$ образована точками ${\displaystyle (\rho _{1},\,\rho _{2})}$, которые удовлетворяют следующим условиям (см. рис. вверху справа)^[3]:

${\displaystyle \rho _{1}<\operatorname {ln} 2,\quad \rho _{2}<\operatorname {ln} 2,\quad \rho _{1}+\rho _{2}<0.}$

Логарифмически выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {S}}_{L}}$ множества ${\displaystyle S}$ образована точками ${\displaystyle (r_{1},\,r_{2})=(e^{\rho _{1}},\,e^{\rho _{2}})}$, где ${\displaystyle (\rho _{1},\,\rho _{2})\in {\hat {S}}_{L}}$, то есть точками ${\displaystyle r_{1},\,r_{2}\geqslant 0}$, удовлетворяющим следующим условиям (см. рис. вверху слева)^[3]:

${\displaystyle r_{1}<2,\quad r_{2}<2,\quad r_{1}r_{2}=e^{\rho _{1}+\rho _{2}}<1.}$

Пример 3

Выпуклая оболочка логарифмического образа несвязного множества

Рассмотрим несвязное множество ${\displaystyle S}$, представляющее собой объединение изолированной точки

${\displaystyle s=(s_{1},\,s_{2},\,\dots ,\,s_{n})>0}$

и следующей окрестности нуля в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$^[3]:

${\displaystyle 0\leqslant r_{j}<\epsilon _{j}<s_{j},\quad j=1,\,2,\,\dots ,\,n.}$

Тогда логарифмически выпуклая оболочка ${\displaystyle {\hat {S}}_{L}}$ множества ${\displaystyle S}$ содержит множество точек

${\displaystyle 0\leqslant r_{j}<s_{j},\quad j=1,\,2,\,\dots ,\,n,}$

логарифмический образ которого показан на рисунке справа для двумерного случая^[3].