Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Логнормальное распределение
понятие в теории вероятностей Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Логнорма́льное распределе́ние (логарифмически-нормальное) в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.
Remove ads
Определение
Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид[1]:
где . Тогда говорят, что имеет логнормальное распределение с параметрами и [1]. Пишут: .
Remove ads
Моменты
Суммиров вкратце
Перспектива
Формула для -го момента логнормальной случайной величины имеет вид[1]:
откуда, в частности[1]:
- — математическое ожидание,
- — дисперсия,
- Асимметрия всегда положительна.
Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле[источник не указан 519 дней]:
- , где и — параметры многомерного совместного распределения. — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, — второй нецентральный момент первой компоненты, — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.
Remove ads
Свойства логнормального распределения
- Если — независимые логнормальные случайные величины, такие что , то их произведение также логнормально[1]:
- .
Связь с другими распределениями
- Если , то .
И наоборот, если , то .
Remove ads
Моделирование логнормальных случайных величин
Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспоненту[источник не указан 519 дней].
Вариации и обобщения
Суммиров вкратце
Перспектива
Одним из возможных обобщений является усечённое логнормальное распределение, описываемое плотностью вероятности[2]:
где .
Remove ads
Приложения
Логнормальное распределение часто возникает в природе и широко используется для описания разных параметров в различных дисциплинах. Например, в медицине его могут применять для инкубационных периодов случаев какого-либо заболевания, в геологии — для концентрации редких элементов в горных породах, в лингвистике — для количества слов в предложениях. Распределение частиц по размерам в разных системах также часто оказывается близко к логнормальному[1][3]. Однако здесь есть исключения, например, распределение астероидов по размерам в Солнечной системе подчиняется степенному закону[4].
Remove ads
Примечания
Литература
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads