Метрика Васерштейна

Метрика Васерштейна — естественная метрика на пространстве вероятностных мер в метрическом пространстве.

Интуитивно, если каждая мера измеряет распределение «грунта» по метрическому пространству М, то расстояние Васерштейна измеряет минимальную стоимость преобразования одного распределения грунта в другое, в простейшем случае предполагается, что стоимость прямо пропорциональна количеству грунта и расстоянию, на которое его надо перетащить.

Название «метрика Васерштейна» было предложено Добрушиным в 1970 году, в честь Леонида Васерштейна (англ. Leonid Vaseršteĭn), который рассматривал её в 1969 году.

Определение

Пусть (M, d) — метрическое пространство, для которого каждая вероятностная мера на М является мерой Радона.

Для р ≥ 1, пусть Р_p(М) обозначает совокупность всех вероятностных мер μ на M с конечным p-м моментом: то есть для некоторой (а значит и для любой) точки х₀ в М, имеем

${\displaystyle \int _{M}d(x,x_{0})^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<+\infty .}$

Тогда p-я метрика Васерштейна W_р(μ,ν) между двумя вероятностными мерами μ и ν в Р_p(М) определяется как

${\displaystyle W_{p}(\mu ,\nu ):=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\int _{M\times M}d(x,y)^{p}\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p},}$

где Γ(μ, ν) обозначает совокупность всех мер по M × M с маргинальными (частными) распределениями μ и ν для первого и второго параметров соответственно. (Множество мер Γ(μ, ν) также называют совокупность всех спариваний μ с ν.)

Свойства

• Сходимость в этой метрике ${\displaystyle W_{p}}$ эквивалентна слабой сходимости мер плюс сходимость первого p-го момента.
• Дуальное определение W₁ является частным случаем теоремы двойственности Канторовича — Рубинштейна (1958): если μ и ν имеют ограниченный носитель, то

  ${\displaystyle W_{1}(\mu ,\nu )=\sup \left\{\int _{M}f(x)\,\mathrm {d} (\mu -\nu )(x)\right\},}$

где супремум берётся по всем 1-липшицевым функциям f.

• Для любого p ≥ 1, метрическое пространство (P_p(М), W_р) является сепарабельным и полным, если (М, d) сепарабельно и полнo^[1].

См. также

• Транспортная задача