Многообразие Эйнштейна

Многообразие Эйнштейна —  риманово или псевдориманово многообразие, тензор Риччи которого пропорционален метрическому тензору.

Это условие удовлетворяется для решений уравнений Эйнштейна с возможно не нулевой космологической постоянной, но вообще говоря, размерность многообразия Эйнштейна и его сигнатура могут быть произвольными — они не обязательно должны быть четырёх-мерными лоренцевыми многообразиями изучаемых в общей теории относительности.

Названы в честь Альберта Эйнштейна.

Определение

Риманово многообразие является многообразием Эйнштейна если

${\displaystyle \mathrm {Ric} =k\cdot g}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle k}$, где ${\displaystyle \mathrm {Ric} }$ обозначает Риччи тензор а ${\displaystyle g}$ — метрический тензор.

Замечания

• В случае ${\displaystyle k=0}$ такое многообразие также называется Риччи-плоским.
• Уравнение Эйнштейна с космологической постоянной ${\displaystyle \Lambda }$ выглядит следующим образом

  ${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},}$

в вакууме тензором энергии–импульса ${\displaystyle T_{ab}}$ равен нулю. Поэтому уравнение сводится к

${\displaystyle R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,}$

которое можно переписать как

${\displaystyle R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda }{n-2}}\cdot g_{ab}.}$

То есть для космологической константы ${\displaystyle \Lambda }$ имеем ${\displaystyle k={\tfrac {2\cdot \Lambda }{n-2}}}$.

Примеры

• Любоe многообразие постоянной секционной кривизны; в частности:
  • Евклидово пространство, является плоским и значит Риччи-плоским и в частности многообразием Эйнштейна.
  • Единичная сфера, ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ эйнштейновская с ${\displaystyle k=n-1}$.
  • Пространство Лобачевского эйнштейновское с отрицательным ${\displaystyle k}$.
• Комплексные проективные пространства, ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}}$ с метрикой Фубини — Штуди^[англ.]*.
• Пространство Калаби — Яу Риччи-плоские и в частности является многообразием Эйнштейна.

Свойства

• неравенство Хитчина — Торпа^[англ.] — необходимое топологическое условие для существования метрики Эйнштейна на замкнутом, ориентированном, четырёх-мерном многообразии.

Вариации и обобщения

• Риччи-солитон

Ссылки

• Бессе А. Многообразия Эйнштейна. — Мир, 2009.