Риччи-солитон

Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.

Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля ${\displaystyle X}$, удовлетвояющего уравнению

${\displaystyle \operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+{\mathcal {L}}_{X}g_{0},}$

где ${\displaystyle \operatorname {Rc} }$ — кривизной Риччи тензор, и ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ — производная Ли. Если ${\displaystyle X=0}$, то условие превращается в условие Эйнштейна

Типы

• Если поле ${\displaystyle X=\nabla f}$ является градиентом некой функции ${\displaystyle f}$, то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид

  ${\displaystyle \operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+\mathrm {Hess} f,}$

а сама функция ${\displaystyle f}$ называется потенциалом солитона.

• При ${\displaystyle \lambda =0}$ солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
• При ${\displaystyle \lambda >0}$ солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче ${\displaystyle (-\infty ,0)}$ .
• При ${\displaystyle \lambda <0}$ солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче ${\displaystyle (0,\infty )}$.

Свойства

• Для любого конуса ${\displaystyle C}$ над сферой с римановой метрикой оператора кривизны ${\displaystyle \geq 1}$ существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон ${\displaystyle M^{t}}$, такой, что ${\displaystyle M^{t}}$ сходится к ${\displaystyle C}$ при ${\displaystyle t\to 0}$ по Громову — Хаусдрофу.^[1]

• Для любого градиентного солитона с потенциалом ${\displaystyle f}$ выполняется тождество

  ${\displaystyle 2\cdot \mathrm {Rc} (\nabla f)+\nabla \mathrm {R} =0,}$

где ${\displaystyle \mathrm {Rc} }$ обозначает тензор Риччи, а ${\displaystyle \mathrm {R} }$ — скалярную кривизну.

Примеры

• Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
• Плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с метрикой

  ${\displaystyle ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}}$

является стационарным градиентным солитоном с потенциалом ${\displaystyle f=-\ln(1+x^{2}+y^{2})}$. Это так называемая сигара Гамильтона.