Многочлены Шура

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от ${\displaystyle n}$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму ${\displaystyle n}$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем ${\displaystyle n}$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$.

Формальное определение

Многочлен Шура, соответствующий разбиению ${\displaystyle \lambda ,}$ равен^[1]

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{\lambda _{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}.}$

Также имеются формулы, выражающие многочлены Шура через элементарные симметрические многочлены ${\displaystyle e_{r}}$ и полные симметрические многочлены ${\displaystyle h_{r}}$:

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(h_{\lambda _{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq n}}$, где ${\displaystyle n\geq l(\lambda )}$,

${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})=det(e_{\lambda '_{i}-i+j})_{1\leq i,j\leq m}}$, где ${\displaystyle \lambda '}$ - сопряжённое к ${\displaystyle \lambda }$ разбиение, а также ${\displaystyle m\geq l(\lambda ')}$.

В частности, ${\displaystyle s_{(n)}=h_{n}}$ и ${\displaystyle s_{(1^{n})}=e_{n}}$.

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура ${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})}$, соответствующий диаграмме Юнга ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$, выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона ${\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j}x_{j}^{k}}$ с коэффициентами, выражающимися через значения характера ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$, соответствующего ${\displaystyle \lambda }$ представления симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$. А именно,

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi ^{\lambda }(\rho )\cdot \prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},}$

где запись ${\displaystyle \rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}$ означает, что в классе сопряжённости ${\displaystyle \rho }$ в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется ${\displaystyle r_{j}}$ циклов длины ${\displaystyle j}$.