Модули римановой поверхности

Модули римановой поверхности — численные характеристики (параметры), одни и те же для всех конформно эквивалентных римановых поверхностей, в своей совокупности характеризующие конформный класс эквивалентности данной римановой поверхности.

Мотивация

Необходимым условием конформной эквивалентности двух плоских областей является одинаковая связность этих областей. Согласно теореме Римана все односвязные области с более чем одной граничной точкой конформно эквивалентны друг другу: каждую такую область можно конформно отобразить на одну и ту же каноническую область, в качестве которой обычно рассматривают единичный круг. Для областей связности ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n>2}$, точного эквивалента теоремы Римана не существует: нельзя указать какую-либо фиксированную область, на которую можно однолистно и конформно отобразить все области данного порядка связности. Это привело к более гибкому определению канонической ${\displaystyle n}$-связной области, которое указывает общую геометрическую структуру этой области, но не фиксирует её модулей.

Примеры

• конформные классы компактных римановых поверхностей рода ${\displaystyle g>1}$ характеризуются ${\displaystyle 6g-6}$ действительными модулями;
• тор (${\displaystyle g=1}$) характеризуется двумя модулями;
• ${\displaystyle n}$-связная плоская область, рассматриваемая как риманова поверхность с краем, при ${\displaystyle n>3}$ характеризуется ${\displaystyle 3n-6}$ модулями.
• Каждая двусвязная область ${\displaystyle D}$ плоскости ${\displaystyle z}$ с невырожденными граничными континуумами может быть конформно отображена на некоторое круговое кольцо

${\displaystyle r<|z|<R}$, ${\displaystyle 0<r<R<\infty }$.

Отношение ${\displaystyle R/r}$ радиусов граничных окружностей этого кольца является конформным инвариантом и называется модулем двусвязной области ${\displaystyle D}$.

Литература

• Модули римановой поверхности — статья из Математической энциклопедии. Г. В. Кузьмина, Е. Д. Соломенцев