Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Теоре́ма Вейерштра́сса о равноме́рно сходя́щихся ряда́х аналити́ческих фу́нкций^{[1][2][3][4][5]}, или просто теорема Вейерштрасса^[6][7], или теорема Вейерштрасса о рядах^[8][9] (1859^[3]) — следующая теорема комплексного анализа, раздела математики^[10][11].

Если бесконечный ряд функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, сходится равномерно в любой замкнутой подобласти данной области, то: 1) сумма ряда определяет аналитическую функцию в исходной области; 2) ряд можно почленно[англ.] дифференцировать любое количество раз[10][11][12][13][14].

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

Следствие. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция в произвольной области, в которой он равномерно сходится^[15][16][17].

Теорема Вейерштрасса определяет условия, при которых сумма сходящегося ряда аналитических функций будет снова аналитической. Этим условием и является равномерная сходимость ряда в данной области или как минимум в любой замкнутой подобласти^[10].

Первая часть теоремы Вейерштрасса говорит о том, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство аналитичности, вторая — что для аналитических функций условия почленного дифференцирования рядов проще, чем в обычном анализе^[12].

Существует эквивалентная формулировка теоремы Вейерштрасса, в которой вместо сходящего ряда используется сходящаяся последовательность^[18][19][20]. Также при доказательстве теоремы Вейерштрасса о рядах могут сразу перейти к последовательностям^[21].

Замечание. Теорема Вейерштрасса лежит в основе изучении одинарных и кратных рядов, составленных из аналитических функций^[22]. Теорема специфична не для действительных, а именно для комплексных функциональных рядов^[6]. Для действительных чисел нет такой простой теоремы, поскольку равномерно сходящийся ряд действительных функций в общем случае почленно не дифференцируется^[10]. Для почленного дифференцирования ряда действительных функций требуется не только сходимость ряда, но ещё и равномерная сходимость ряда из производных^[11].

Применяя теорему Вейерштрасса, нельзя забывать, что она говорит о рядах голоморфных функций, которые сходятся в области, то есть в открытом связном множестве. В случае неоткрытого множества теорема Вейерштрасса может быть неверна^[23].

Авторы могут говорить не об одной теореме Вейерштрасса, а о двух, нумеруя обе части теоремы: первая и вторая теоремы Вейерштрасса^[12][24][13].

С другой стороны, эту теорему иногда называют первой теоремой Вейерштрасса^[10], подразумевая под второй теоремой Вейерштрасса^[25] теорему Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области^[26].

Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку^[4]. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменного^[22].

Теорема Вейерштрасса на комплексной плоскости

Первая часть теоремы Вейерштрасса

Первая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций ${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$, аналитических в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, причём ряд равномерно сходится к сумме ${\displaystyle f(z)}$ в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в исходной области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$. Доказать: в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая[10][2][3][4][6][27][28][29][30][31][14].

При доказательстве первой части теоремы Вейерштрасса всегда используется интегральной формулы Коши, тогда как вторая часть теоремы Вейерштрасса следует из неравенств Коши^[32].

Приведём четыре разных доказательства первой части этой теоремы. Первое доказательство, кроме интегральной формулы Коши, использует теорему об интегрировании равномерно сходящегося ряда, второе доказательство — теорему Мореры^[33]. Третье доказательство непосредственное и универсальное, по его схеме доказывается также и вторая часть теоремы Вейерштрасса^[34]. При четвёртом доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функций^[35].

Доказательство 1^[33][36]

1. Непрерывность суммы ряда. Так как ряд

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$

сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы ряда, его сумма ${\displaystyle f(z)}$ — непрерывная функция в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$, следовательно, и во всей области ${\displaystyle D}$. Осталось доказать, что в любой точке ${\displaystyle z_{0}}$ области ${\displaystyle D}$ у функции ${\displaystyle f(z)}$ есть конечная производная.

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

2. Замкнутый контур. Построим вокруг произвольной точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ замкнутый кусочно-гладкий контур^[англ.]* ${\displaystyle C}$ такой, что сам контур и его внутренность лежат в области ${\displaystyle D}$. На этом контуре ${\displaystyle C}$ данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Пусть ${\displaystyle w}$ — любая точка на контуре ${\displaystyle C}$, а ${\displaystyle z}$ — любая точка внутри контура ${\displaystyle C}$. Тогда разделим все члены ряда на разность ${\displaystyle w-z}$, получим ряд

${\displaystyle {\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {f_{1}(w)}{w-z}}+{\frac {f_{2}(w)}{w-z}}+\cdots +{\frac {f_{k}(w)}{w-z}}+\cdots }$,

который равномерно сходится для любых точек ${\displaystyle z\in C}$. Такой ряд, согласно теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда, почленно интегрируется вдоль замкнутой кривой ${\displaystyle C}$.

3. Интегрирование вдоль контура. Проинтегрируем ряд вдоль замкнутой кривой ${\displaystyle C}$, поделив все члены ряда на ${\displaystyle 2\pi i}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{w-z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{1}(w)dw}{w-z}}+}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{2}(w)dw}{w-z}}+\cdots +{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{k}(w)dw}{w-z}}+\cdots }$,

и поскольку функции ${\displaystyle f_{k}(z)}$ аналитические всюду внутри контура ${\displaystyle C}$ и на самом контуре по условию теоремы, то, по интегральной формуле Коши, перепишем последний ряд в следующем виде:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{w-z}}=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots }$,

то есть снова в виде интегральной формуле Коши

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{w-z}}}$.

4. Конечная производная. Поскольку последняя интегральной формуле Коши для функции ${\displaystyle f(z)}$ верна для всех внутренних точек ${\displaystyle z}$ контура ${\displaystyle C}$, то, в силу соответствующей теоремы, во всех этих точках ${\displaystyle f(z)}$ имеет конечную производную

${\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{(w-z)^{2}}}}$,

в частности, у функции ${\displaystyle f(z)}$ есть конечная производная в точке ${\displaystyle z=z_{0}}$. Но ${\displaystyle z_{0}}$ — это, по определению, любая точка области ${\displaystyle D}$, следовательно, в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая, что и требовалось доказать.

Доказательство 2^{[37][38][39][29][40]}

1. Непрерывность суммы ряда. Так как ряд

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$

сходится равномерно, то, по теореме о непрерывности суммы ряда, его сумма ${\displaystyle f(z)}$ — непрерывная функция в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$, следовательно, и во всей области ${\displaystyle D}$.

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

2. Замкнутый контур. Построим вокруг произвольной точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ замкнутый кусочно-гладкий контур^[англ.]* ${\displaystyle C}$ такой, что сам контур и его внутренность лежат в области ${\displaystyle D}$. На этом контуре ${\displaystyle C}$ данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Следовательно, он интегрируется почленно вдоль кривой ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle \int \limits _{C}f(w)dw=\int \limits _{C}f_{1}(w)dw+}$

${\displaystyle {}+\int \limits _{C}f_{2}(w)dw+\cdots +\int \limits _{C}f_{k}(w)dw+\cdots }$,

а поскольку все функции ${\displaystyle f_{k}(z)}$ аналитические внутри и на контуре ${\displaystyle C}$, то по интегральной теореме Коши

${\displaystyle \int \limits _{C}f_{k}(w)dw=0,\quad k=1,\,2,\,3,\,\dots }$,

откуда

${\displaystyle \int \limits _{C}f(w)dw=0}$.

3. Теорема Мореры. Получили, что сумма ряда из условия теоремы — это непрерывная функция ${\displaystyle f(z)}$ в области ${\displaystyle D}$, причём интеграл ${\displaystyle \int \limits _{C}f(w)dw=0}$ берётся вдоль любого замкнутого контура ${\displaystyle C}$ из некоторой окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$. Тогда, по теореме Мореры, функция ${\displaystyle f(z)}$ в указанной выше окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ аналитическая. Но ${\displaystyle z_{0}}$ — это, по определению, любая точка области ${\displaystyle D}$, следовательно, в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая, что и требовалось доказать.

Доказательство 3^[34][41]

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

1. Окрестность точки. Рассмотрим любую точку ${\displaystyle z_{0}}$ области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle z_{0}\in D}$. Построим окружность ${\displaystyle \Gamma \colon |z-z_{0}|=2d}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и такого маленького радиуса ${\displaystyle 2d>0}$, чтобы она и весь замкнутый круг ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant 2d}$ принадлежали области ${\displaystyle D}$. Осталось доказать, что сумма ряда ${\displaystyle f(z)}$ из условия теоремы — это аналитическая функция в ${\displaystyle d}$-окрестности ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$ точки ${\displaystyle z_{0}}$.

2. Равномерная сходимость. Возьмём две произвольные точки: ${\displaystyle w}$ на окружности ${\displaystyle \Gamma }$, ${\displaystyle w\in \Gamma }$, и ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle d}$-окрестности ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$. Преобразуем ряд

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots }$

из условия теоремы, заменив ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle w}$ и умножив на ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i(w-z)}}}$, получим:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f(w)}{w-z}}={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f_{1}(w)}{w-z}}+{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f_{2}(w)}{w-z}}+\cdots +{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {f_{k}(w)}{w-z}}+\cdots }$,

а поскольку исходный ряд из условия теоремы равномерно сходится на окружности ${\displaystyle \Gamma }$, причём

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i(w-z)}}\right|<{\frac {1}{2\pi d}}}$,

то новый ряд также равномерно сходится на окружности ${\displaystyle \Gamma }$ и его можно почленно интегрировать. По интегральной формуле Коши интеграл от каждого члена нового ряда равен ${\displaystyle f_{k}(z)}$, и получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{w-z}}=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =f(z)}$,

то есть в ${\displaystyle d}$-окрестности точки ${\displaystyle z_{0}}$ сумма ряда ${\displaystyle f(z)}$ из условия теоремы представлена интегралом типа Коши:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{w-z}}}$,

а это означает, что ${\displaystyle f(z)}$ — аналитическая функция в точке ${\displaystyle z_{0}}$. Но ${\displaystyle z_{0}\in D}$ — произвольная точка, поэтому ${\displaystyle f(z)}$ — аналитическая функция в области ${\displaystyle D}$.

Доказательство 4^[35]

Пусть ${\displaystyle S_{N}(z)}$ — частичная сумма исходного ряда

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$,

то есть

${\displaystyle S_{N}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{N}(z)=\sum \limits _{k=1}^{N}f_{k}(z)}$.

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

1. Окрестность точки. Рассмотрим любую точку ${\displaystyle z_{0}}$ области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle z_{0}\in D}$. Построим окружность ${\displaystyle \Gamma \colon |z-z_{0}|=2d}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и такого маленького радиуса ${\displaystyle 2d>0}$, чтобы она и весь замкнутый круг ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant 2d}$ принадлежали области ${\displaystyle D}$. Осталось доказать, что сумма предел последовательности ${\displaystyle S_{N}(z)}$ — это аналитическая функция в ${\displaystyle d}$-окрестности ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$ точки ${\displaystyle z_{0}}$.

2. Равномерная сходимость. Поскольку для любого ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ новая функция ${\displaystyle S_{N}(z)}$ аналитична в области ${\displaystyle D}$, то по интегральной формуле Коши для любого ${\displaystyle z\in \Gamma }$

${\displaystyle S_{N}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)}{w-z}}dw}$.

Так как, по условию теоремы, исходный ряд равномерно сходится в любой замкнутой подобласти области ${\displaystyle D}$, в сами функции ${\displaystyle f_{k}(z)}$ непрерывны в области ${\displaystyle D}$, то, по теореме о непрерывности, частичная сумма ряда ${\displaystyle S_{N}(z)}$ также непрерывна в области ${\displaystyle D}$.

Далее, вследствие равномерной сходимости исходного ряда в замкнутом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant 2d}$ имеем, что для любого числа ${\displaystyle \epsilon >0}$ найдётся такое ${\displaystyle N(\epsilon )}$, что для любого ${\displaystyle N\leqslant N(\epsilon )}$ верно неравенство

${\displaystyle \sup _{w\in \Gamma }|S_{N}(w)-f(w)|<\epsilon }$.

Отсюда для произвольной точки ${\displaystyle z}$ из ${\displaystyle d}$-окрестности и натурального числа ${\displaystyle N\geqslant N(\epsilon )}$ имеем:

${\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)}{w-z}}dw-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw\right|\leqslant }$

${\displaystyle {}\leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }{\frac {|S_{N}(w)-f(w)|}{|w-z|}}|dw|\leqslant {\frac {\epsilon }{2\pi d}}2\pi 2d=2\epsilon }$.

По причине произвольности числа ${\displaystyle \epsilon >0}$ из последнего уравнения и последних неравенств для любого ${\displaystyle z}$ из ${\displaystyle d}$-окрестности имеем:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}dw}$.

то есть

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {S(w)}{w-z}}dw}$.

Правая часть последнего уравнения — интеграл типа Коши от непрерывной функции ${\displaystyle f(w)}$. По основному свойству он бесконечно дифференцируем, другими словами, сумма ряда ${\displaystyle f(z)}$ есть аналитическая функция в окрестности любой точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$, следовательно, что сумма ряда ${\displaystyle f(z)}$ аналитична во всей области ${\displaystyle D}$.

В итоге получаем, что функции ${\displaystyle S_{N}(z)}$ и ${\displaystyle f(z)}$ аналитичны в области ${\displaystyle D}$, то есть, по теореме о бесконечной дифференцируемости, в ${\displaystyle D}$ имеются производные ${\displaystyle S_{N}^{(m)}(z)}$ и ${\displaystyle f^{(m)}(z)}$ при любом ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$.

Следствие. Сумма следующего степенного ряда

${\displaystyle a_{0}+a_{1}(z-z_{0})+a_{2}(z-z_{0})_{2}+\cdots }$

есть аналитическая функция в произвольной области, в которой он равномерно сходится^[15][16][17].

Вторая часть теоремы Вейерштрасса

Вторая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций ${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$, аналитических в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, причём этот ряд равномерно сходится к сумме ${\displaystyle f(z)}$ в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в исходной области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$. Доказать: при дифференцировании этого ряда любое количество раз ${\displaystyle m}$ возникает новый ряд ${\displaystyle f^{(m)}(z)=f_{1}^{(m)}(z)+f_{2}^{(m)}(z)+\cdots +f_{k}^{(m)}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(m)}(z)}$, также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$ и определяющий соответствующую производную функции ${\displaystyle f(z)}$[10][2][4][6][27][39][28][42][13][31][14].

Замечание. Если ряд

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$

сходится равномерно во всей области ${\displaystyle D}$, то ряд из производных

${\displaystyle f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots }$,

будет сходиться вовсе не в этой же области ${\displaystyle D}$, а только в любой замкнутой области (компакте) ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, целиком лежащей в ${\displaystyle D}$. Например, ряд

${\displaystyle {\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{2^{2}}}+{\frac {z^{3}}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n^{2}}}+\cdots }$

сходится равномерно в даже замкнутом круге ${\displaystyle |z|\leqslant 1}$, поскольку в этом круге сходящийся ряд

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots }$

его мажорирует. Но ряд из его производных

${\displaystyle 1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{3}}+\cdots +{\frac {z^{n-1}}{n}}+\cdots }$

сходится равномерно не в открытом круге ${\displaystyle |z|<1}$, а в любом меньшем замкнутом круге ${\displaystyle |z|\leqslant r}$, ${\displaystyle r<1}$, поскольку он расходится при ${\displaystyle z=1}$^[43][44].

Приведём два разных доказательства первой части этой теоремы. При втором доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функций^[45].

Доказательство 1^{[46][34][41][38][39][47]}

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

1. Замкнутый контур. Построим вокруг произвольной точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ замкнутый кусочно-гладкий контур^[англ.]* ${\displaystyle C}$ такой, что сам контур и его внутренность лежат в области ${\displaystyle D}$. На этом контуре ${\displaystyle C}$ данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Пусть ${\displaystyle w}$ — любая точка на контуре ${\displaystyle C}$, а ${\displaystyle z}$ — любая точка внутри контура ${\displaystyle C}$. Тогда разделим все члены ряда на разность ${\displaystyle (w-z)^{2}}$, получим ряд

${\displaystyle {\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}={\frac {f_{1}(w)}{(w-z)^{2}}}+}$

${\displaystyle {}+{\frac {f_{2}(w)}{(w-z)^{2}}}+\cdots +{\frac {f_{k}(w)}{(w-z)^{2}}}+\cdots }$,

который равномерно сходится для любых точек ${\displaystyle z\in C}$. Такой ряд, согласно теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда, почленно интегрируется вдоль замкнутой кривой ${\displaystyle C}$.

2. Интегрирование вдоль контура. Проинтегрируем ряд вдоль замкнутой кривой ${\displaystyle C}$, поделив все члены ряда на ${\displaystyle 2\pi i}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f(w)dw}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{1}(w)dw}{(w-z)^{2}}}+}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{2}(w)dw}{(w-z)^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}{\frac {f_{k}(w)dw}{(w-z)^{2}}}+\cdots }$,

и поскольку функции ${\displaystyle f_{k}(z)}$ аналитические всюду внутри контура ${\displaystyle C}$ и на самом контуре по условию теоремы, то, по интегральной формуле Коши, перепишем последний ряд в следующем виде:

${\displaystyle f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots }$,

то есть ряд, составленный из производны от членов ряда в формулировке теоремы, сходится к производной от суммы того же ряда в любой точке ${\displaystyle z}$ внутри контура ${\displaystyle C}$, в частности, в точке ${\displaystyle z=z_{0}}$. Но ${\displaystyle z_{0}}$ — это, по определению, любая точка области ${\displaystyle D}$, следовательно, ряд можно почленно дифференцировать в любой точке области ${\displaystyle D}$. Теперь достаточно показать, что последний ряд, составленный из производны от членов ряда в формулировке теоремы, сходится равномерно в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в исходной области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$.

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

3. Окрестность точки. Пусть теперь ${\displaystyle z_{0}}$ — любая точка замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, ${\displaystyle z_{0}\in {\bar {D'}}}$. Построим окружность ${\displaystyle \Gamma }$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и такого маленького радиуса ${\displaystyle 2d}$, чтобы она вместе со своей внутренностью принадлежала области ${\displaystyle D}$. Построим также окрестность ${\displaystyle \sigma _{z_{0}}}$ точки ${\displaystyle z_{0}}$: ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$. Очевидно, что если точка ${\displaystyle w}$ движется по окружности ${\displaystyle \Gamma }$, а точка ${\displaystyle z}$ не выходит из окрестности ${\displaystyle \sigma _{z_{0}}}$, то расстояние между этими двумя точками ${\displaystyle |w-z|>d}$. Поскольку ряд в формулировке теоремы сходится равномерно на точках окружности ${\displaystyle \Gamma }$, то при произвольном сколь угодно малом ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle |f_{k+1}(w)+f_{k+2}(w)+\cdots |<\epsilon ,\quad k\geqslant N=N,(\epsilon )}$

для любой точки ${\displaystyle w\in \Gamma }$.

4. Равномерная сходимость. Применим последнее строгое неравенство к следующим членам ряда из производных, начиная с ${\displaystyle (n+1)}$-го:

${\displaystyle f'_{n+1}(z)+f'_{n+2}(z)+\cdots ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f_{n+1}(w)+f_{n+2}(w)+\cdots }{(w-z)^{2}}}dw}$,

получим:

${\displaystyle |f'_{n+1}(z)+f'_{n+2}(z)+\cdots |<{\frac {\epsilon 4\pi d}{2\pi d^{2}}}={\frac {2\epsilon }{d}}}$,

а это означает, что остаточный член ряда из производных, начиная с достаточно большого номера, меньше по модулю сколь угодно малого числа ${\displaystyle {\frac {2\epsilon }{d}}>0}$ независимо от точки ${\displaystyle z\in \sigma _{z_{0}}}$. Иначе говоря, доказано, что ряд из производных равномерно сходится в окрестности ${\displaystyle \sigma _{z_{0}}}$ любой точки ${\displaystyle z_{0}\in {\bar {D'}}}$. Следовательно, по лемме Гейне — Бореля область ${\displaystyle {\bar {D'}}}$ можно покрыть конечным числом окрестностей ${\displaystyle \sigma }$, причём в каждой из этих областей ряд из производных равномерно сходится. Поэтому ряд из производных

${\displaystyle f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots }$

равномерно сходится во всей области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$.

5. Производные высших порядков. В силу соответствующей теоремы, производная аналитической функции — функция тоже аналитическая, следовательно, ряд

${\displaystyle f'(z)=f'_{1}(z)+f'_{2}(z)+\cdots +f'_{k}(z)+\cdots }$

представляет собой ряд функций, аналитических в области ${\displaystyle D}$, а также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$. Применяя к этому ряду предыдущее доказательство, получаем:

${\displaystyle f''(z)=f''_{1}(z)+f''_{2}(z)+\cdots +f''_{k}(z)+\cdots }$,

и так далее, в итоге при любом ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ имеем:

${\displaystyle f^{(m)}(z)=f_{1}^{(m)}(z)+f_{2}^{(m)}(z)+\cdots +f_{k}^{(m)}(z)+\cdots }$,

и кроме того, все эти ряды равномерно сходятся в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$.

Доказательство 2^[45]

Пусть ${\displaystyle S_{N}(z)}$ — частичная сумма исходного ряда

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$,

то есть

${\displaystyle S_{N}(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{N}(z)=\sum \limits _{k=1}^{N}f_{k}(z)}$.

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

1. Окрестность точки. Зафиксируем любую точку ${\displaystyle z_{0}}$ области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle z_{0}\in D}$. Построим любую ${\displaystyle d}$-окрестность ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$ точки ${\displaystyle z_{0}}$ такую, что её замыкание лежит в области ${\displaystyle D}$ и, кроме того, окружность ${\displaystyle \Gamma }$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ и радиусом ${\displaystyle 2d}$ вместе со своей внутренностью принадлежит области ${\displaystyle D}$.

2. Равномерная сходимость. По теореме о бесконечной дифференцируемости при любом ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ имеем для любой точки ${\displaystyle z}$ из замыкания ${\displaystyle d}$-окрестности ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$ и аналитических функций ${\displaystyle S_{N}(z)}$ и ${\displaystyle f(z)}$:

${\displaystyle S_{N}^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)}{(w-z)^{m+1}}}dw}$,

${\displaystyle f^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{m+1}}}dw}$.

Далее, вследствие равномерной сходимости исходного ряда в замкнутом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant 2d}$ имеем, что для любого числа ${\displaystyle \epsilon >0}$ найдётся такое ${\displaystyle N(\epsilon )}$, что для любого ${\displaystyle N\leqslant N(\epsilon )}$ верно неравенство

${\displaystyle \sup _{w\in \Gamma }|S_{N}(w)-f(w)|<\epsilon }$.

Следовательно, для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ и любого ${\displaystyle N\geqslant N(\epsilon )}$ и для любой точки ${\displaystyle z}$ из замыкания ${\displaystyle d}$-окрестности ${\displaystyle |z-z_{0}|<d}$ получаем оценку

${\displaystyle |S_{N}^{(m)}(z)-f^{(m)}(z)|={\frac {m!}{2\pi }}\left|\int _{\Gamma }{\frac {S_{N}(w)-f(w)}{(w-z)^{m+1}}}dw\right|\leqslant }$

${\displaystyle {}\leqslant {\frac {m!}{2\pi d^{m+1}}}\sup _{w\in \Gamma }|S_{N}(w)-f(w)|2\pi 2d<{\frac {2m!}{d^{m}}}\epsilon }$.

Окончательно получаем, что последовательность частичных суии ${\displaystyle S_{N}^{(m)}(z)}$ сходится к функции ${\displaystyle f^{(m)}(z)}$ равномерно на замыкании ${\displaystyle d}$-окрестности. А поскольку точка ${\displaystyle z_{0}}$ и ${\displaystyle d}$-окрестность выбраны произвольно, то последовательность частичных суии ${\displaystyle S_{N}^{(m)}(z)}$ сходится к функции ${\displaystyle f^{(m)}(z)}$ равномерно в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$.

Доказательство с использованием рядов Тейлора

Рассмотрим бесконечную последовательность степенных рядов

${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{1}(z),\,{\mathfrak {P}}_{2}(z),\,\dots ,\,{\mathfrak {P}}_{k}(z),\,\dots }$

с радиусами сходимости, большими некоторого числа ${\displaystyle \rho >0}$. Построив круг ${\displaystyle \{K\colon z\in \mathbb {C} ,\,|z|<\rho \}}$, получим, что все эти ряды сходятся как внутри, так и на границе круга ${\displaystyle K}$^[48].

Теорема о равномерной сходимости степенных рядов. Дано: степенной ряд функций ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots }$, равномерно сходящийся на окружности ${\displaystyle |z|=\rho }$ круга ${\displaystyle K}$. Доказать: в любой внутренней точке ${\displaystyle z}$ круга ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle z\in K}$, справедливо равенство ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots ={\mathfrak {P}}(z)}$, где ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)}$ — новые степенной ряд, образованный формальным сложением всех степенный рядов, находящихся в левой часи равенства[31].

Положим

${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{m}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{km}z^{k}}$,

тогда теорема утверждает, что ряды коэффициентов

${\displaystyle c_{k}=c_{k1}+c_{k2}+c_{k3}+\cdots }$

сходятся при каждом ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots ,}$ а ряд

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}}$

сходится во всех внутренних точках круга ${\displaystyle K}$, причём имеет место следующее равенство^[49]:

${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots ={\mathfrak {P}}(z)}$.

Доказательство^[50]

1. Неравенства. Так как ряд с общим членом

${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{m}(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{km}z^{k}}$

равномерно сходится на окружности круга ${\displaystyle K}$, то для любого числа ${\displaystyle \epsilon >0}$ имеется такое натуральное число ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$, что неравенство

${\displaystyle |{\mathfrak {P}}_{m+1}(z)+{\mathfrak {P}}_{m+2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{m+l}(z)|\leqslant \epsilon }$

верно в любой точке ${\displaystyle z}$ окружности круга ${\displaystyle K}$ при произвольном ${\displaystyle l>0}$, когда ${\displaystyle m>N}$. Из этого неравенства по неравенству Коши для коэффициентов ряда Лорана вытекает неравенство

${\displaystyle |c_{k(m+1)}+c_{k(m+2)}+\cdots +c_{k(m+l)}|\leqslant {\frac {\epsilon }{\rho _{k}}},\quad k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Поэтому сходятся следующие ряды:

${\displaystyle c_{k1}+c_{k2}+c_{k3}+\cdots =c_{k},\quad k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Обозначим

${\displaystyle r_{km}=c_{k}-(c_{k1}+c_{k2}+\cdots +c_{km})}$,

тогда при ${\displaystyle m>N}$ верны также неравенства

${\displaystyle |r_{km}|\leqslant {\frac {\epsilon }{\rho _{k}}},\quad k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

2. Сходимость рядов. Пусть ${\displaystyle z}$ — любая тоска внутри круга ${\displaystyle K}$. Тогда ${\displaystyle |z|=\rho _{1}<\rho }$, поэтому сходится следующий ряд:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }(c_{k1}+c_{k2}+\cdots +c_{km})z^{k}={\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{m}(z)}$.

Кроме того, при ${\displaystyle m>N}$ сходится также и следующий ряд:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }r_{km}z^{k}={\mathfrak {O}}_{m}(z)}$,

поскольку, с учётом неравенства ${\displaystyle |r_{km}|\leqslant {\frac {\epsilon }{\rho _{k}}}}$, последний ряд мажорируется следующим сходящимся рядом:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\epsilon \left({\frac {\rho _{1}}{\rho }}\right)^{k}={\frac {\epsilon }{1-\rho _{1}/\rho }}}$,

поэтому

${\displaystyle {\mathfrak {O}}_{m}(z)\leqslant {\frac {\epsilon }{1-\rho _{1}/\rho }}}$.

Следовательно, ряд

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}z_{k}={\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{m}(z)+{\mathfrak {O}}_{m}(z)={\mathfrak {P}}(z)}$

также сходится при заданном значении при ${\displaystyle z}$, причём при ${\displaystyle m>N}$ выполняется следующее неравенство:

${\displaystyle |{\mathfrak {P}}(z)-{\mathfrak {P}}_{1}(z)-{\mathfrak {P}}_{2}(z)-\cdots -{\mathfrak {P}}_{m}(z)|={\mathfrak {O}}_{m}(z)\leqslant {\frac {\epsilon }{1-\rho _{1}/\rho }}}$,

откуда, поскольку ${\displaystyle \epsilon }$ любое, имеем равенство

${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)={\mathfrak {P}}_{1}(z)+{\mathfrak {P}}_{2}(z)+\cdots +{\mathfrak {P}}_{k}(z)+\cdots }$,

что и требовалось доказать.

Эта теорема просто переносится на ряды по степеням комплексных выражений ${\displaystyle z-a}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{z}}}$. Из этой этой теоремы вытекает следующая теорема Вейерштрасса для аналитических функций^[51].

Теорема Вейерштрасса о рядах. Дано: бесконечный ряд функций ${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$, аналитических в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, причём ряд равномерно сходится к сумме ${\displaystyle f(z)}$ в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в исходной области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$. Доказать: 1) в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая; 2) при дифференцировании этого ряда любое количество раз ${\displaystyle m}$ возникает новый ряд ${\displaystyle f^{(m)}(z)=f_{1}^{(m)}(z)+f_{2}^{(m)}(z)+\cdots +f_{k}^{(m)}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}^{(m)}(z)}$, также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$ и определяющий соответствующую производную функции ${\displaystyle f(z)}$[51].

Доказательство^[52]

1. Первая часть теоремы. Построим вокруг произвольной точки ${\displaystyle z_{0}\in D}$ круг ${\displaystyle K}$ такой, что сам круг и его граница лежат в области ${\displaystyle D}$. На окружности этого круга данный в условии теоремы ряд

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$

равномерно сходится. По теореме Тейлора в этом круге ${\displaystyle K}$ и на его границе выполняются следующие равенства:

${\displaystyle f_{k}(z)=f_{k}(z_{0})+{\frac {z-z_{0}}{1!}}f'_{k}(z_{0})+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{2!}}f''_{k}(z_{0})+\cdots }$,

и по доказанной выше теореме о равномерной сходимости степенных рядов данный в условии ряд в круге ${\displaystyle K}$ есть следующий степенной ряд:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}{\frac {(z-z_{0})^{k}}{k!}}}$,

где ${\displaystyle c_{k}=f_{1}^{(k)}(z_{0})+f_{2}^{(k)}(z_{0})+\cdots }$.

Следовательно, данная функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая в области ${\displaystyle D}$, поскольку точка ${\displaystyle z_{0}}$ — произвольная точка области ${\displaystyle D}$.

2. Вторая часть теоремы. Сравним разложение функции ${\displaystyle f(z)}$ в ряд Тейлора

${\displaystyle f(z)=f(z_{0})+{\frac {z-z_{0}}{1!}}f'(z_{0})+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{2!}}f''(z_{0})+\cdots }$

с разложением этой функции в степенной ряд, получаем, что

${\displaystyle f^{(k)}(z_{0})=f_{1}^{(k)}(z_{0})+f_{2}^{(k)}(z_{0})+\cdots }$,

что и требовалось доказать.

Равномерная сходимость внутри области

Равномерная сходимость внутри области ${\displaystyle D}$ — равномерная сходимость ряда функций в точках любой ограниченной замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$, ${\displaystyle D'\Subset D}$^[53].

Произвольное множество ${\displaystyle A}$, замыкание которого принадлежит некоторому другому множеству ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {\bar {A}}\subset B}$, называется предкомпактным в ${\displaystyle B}$, или компактным относительно ${\displaystyle B}$, или строго содержащимся в ${\displaystyle B}$. Такое отношение двух множеств обозначается ${\displaystyle A\Subset B}$^[54][55].

Некоторые авторы используют термин «равномерная сходимость» для сокращения теста. Любой ряд функций, просто равномерно сходящийся в области, сходится равномерно и в каждой её замкнутой подобласти и, следовательно, равномерно сходится внутри области. Обратное, в общем случае, неверно, как следует из следующего примера^[53].

Пример. Рассмотрим геометрический ряд

${\displaystyle 1+z+z^{2}+\cdots +z^{k}+\cdots }$,

который сходится в единичном круге ${\displaystyle |z|<1}$ неравномерно. При этом он равномерно сходится внутри единичного круга. Докажем это утверждение. Возьмём любую замкнутую подобласть ${\displaystyle F}$ единичного круга, и пусть расстояние от неё до границы исходной области — единичной окружности — равно ${\displaystyle \delta }$. Тогда для произвольной точки ${\displaystyle z\in F}$ получаем ${\displaystyle |z|\leqslant 1-\delta }$, откуда имеем, что величина

${\displaystyle |z^{k+1}+\cdots +z^{k+p}|=\left|z^{k+1}{\frac {1-z^{p}}{1-z}}\right|\leqslant |z|^{k+1}{\frac {1+|z|^{p}}{1-|z|}}\leqslant (1-\delta )^{k+1}{\frac {2}{\delta }}}$

стремится к нулю при ${\displaystyle k\to \infty }$ и всегда может быть меньше любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ при некотором ${\displaystyle N(\epsilon )<k}$. В итоге получили, что геометрический ряд равномерно сходится на всех точках любой замкнутой подобласти ${\displaystyle F}$ единичного круга и, следовательно, равномерно сходится внутри единичного круга, хотя и не сходится равномерно в единичном круге^[53].

Примеры рядов, сходящихся не в области

Чтобы правильно использовать теорему Вейерштрасса, необходимо учитывать, что она сформулирована и доказана для рядов аналитических функций, равномерно сходящихся в области. Когда ряд равномерно сходится на любом не открытом множестве, теорема может быть неверна^[23].

По теореме Вейерштрасса в следующих двух примерах не существует области, которая включала бы точки всей действительной оси или хотя бы её произвольной части, в которой представленные ряды сходились бы равномерно. Иначе эти ряды вошли бы в противоречие с теоремой Вейерштрасса^[56].

Пример 1 (Вейерштрасс). Рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }b^{k}\cos(ax\pi )}$,

где ${\displaystyle n}$ — нечётное целое число, ${\displaystyle 0<b<1}$. Этот ряд есть сумма функций, аналитических во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. Ряд равномерно сходится на действительной оси, так как абсолютная величина общего члена ряда ${\displaystyle |b^{k}\cos(ax\pi )|\leqslant b^{k}}$, где ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }b^{k}}$ — сходящийся геометрический ряд. Но сумма ряда даже не аналитическая функция в точках действительной оси, поскольку, по результатам Вейерштрасса, эта сумма не дифференцируема ни при каких ${\displaystyle x}$^[23].

Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд

${\displaystyle \sin x+\left({\frac {\sin 2x}{2}}-\sin x\right)+\left({\frac {\sin 3x}{3}}-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+\cdots }$,

члены которого суть функции, аналитические во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. И этот ряд сходится равномерно на действительной оси. Кроме того, его сумма, тождественно равная нулю, есть аналитическая функция. Действительно, частичная сумма этого ряда равна

${\displaystyle \sin x+\left({\frac {\sin 2x}{2}}-\sin x\right)+\cdots +\left({\frac {\sin kx}{k}}-{\frac {\sin(k-1)x}{k-1}}\right)={\frac {\sin kx}{k}}}$,

а ${\displaystyle \left|{\frac {\sin kx}{k}}\right|\leqslant {\frac {1}{k}}}$, следовательно, этот ряд сходится равномерно к нулю. Онако при почленном дифференцировании получается ряд

${\displaystyle \cos x+(\cos 2x-\cos x)+\cdots +(\cos kx-\cos(k-1)x)+\cdots }$,

частичные суммы которого равны

${\displaystyle \cos x,\cos 2x,\cdots ,\cos kx,\cdots }$,

следовательно, последовательность этих сумм расходится при любом ${\displaystyle x\neq 2n\pi }$, а при ${\displaystyle x=2n\pi }$ сходится к единице — величине, не равной производной от суммы ряда^[57].

Пример 3. Функциональный ряд ${\displaystyle \,\sum \limits _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\cos kx}{k^{2}}}}$ равномерно сходится для все вещественных ${\displaystyle x}$. Однако ряд первых производных ${\displaystyle \,\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {\sin kx}{k}}}$ сходится уже неравномерно около точек ${\displaystyle x=(2m+1)\pi }$, где ${\displaystyle m}$ — произвольное целое число, тогда как ряд вторых производных ${\displaystyle \,\sum \limits _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\cos kx}$ вовсе не сходится^[16].

Применения теоремы Вейерштрасса

Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области

Вейерштрасс доказал теорему, которой посвящена статья, без использования интеграла Коши. Он использовал так называемый элементарный метод, который основан на разложении голоморфных функций в ряд Тейлора. Но приведённые в статье доказательства с применением интеграла Коши по сути почти непосредственные и, кроме того, позволяют создать другую формулировку теоремы Вейерштрасса, которая используется в некоторых случаях. Эта новая формулировка определяется тем, что равномерная сходимость ряда или последовательности функций была использована только на границе области. В итоге получается следующая теорема^[58][59].

Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области. Дано: бесконечный ряд функций ${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$, аналитических в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, и непрерывных в замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$, причём ряд равномерно сходится на границе области ${\displaystyle D}$. Доказать: во всей замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$ ряд также равномерно сходится[25][56][4][58][60].

Первое доказательство основано на принципе максимума модуля^[61][62], второе непосредственно использует определение производной^[63].

Доказательство 1^[61][62]

Пусть ${\displaystyle w}$ — любая точка на границе области ${\displaystyle D}$, тогда по условию равномерной сходимости имеет место неравенство

${\displaystyle |f_{N+1}(w)+f_{N+2}(w)+\cdots +f_{N+p}(w)|<\epsilon ,\quad }$ ${\displaystyle N=N(\epsilon ),\quad }$ ${\displaystyle p\geqslant 1,}$

где ${\displaystyle \epsilon }$ сколь угодно мало. Поскольку функция

${\displaystyle f_{N+1}(z)+f_{N+2}(z)+\cdots +f_{N+p}(z)}$

аналитична в области ${\displaystyle D}$ и непрерывна в замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$, то, согласно принципу максимума модуля, указанное неравенство выполняется и во всех точках ${\displaystyle z}$ области ${\displaystyle D}$. Следовательно, неравенство верно, если ${\displaystyle w}$ — любая точка замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$, и ряд

${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$

равномерно сходится во всей замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$ по признаку Вейерштрасса равномерно сходящегося ряда.

Доказанное свойство рядов аналитических функций верно также для аналитических или гармонических функций, определённых в областях как комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, так и евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$. Более того, доказанное свойство рядов аналитических функций верно всегда, когда применим принцип максимума модуля^[4].

Доказательство 2^[63].

1. Почленное интегрирование. Рассмотрим любую точку ${\displaystyle z_{0}}$ в области ${\displaystyle D}$, и пусть на границе ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ сумма ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f(z)}$. Поскольку величина ${\displaystyle {\frac {1}{z-z_{0}}}}$ ограничена, если точка ${\displaystyle z_{0}}$ фиксирована и ${\displaystyle z\in \partial D}$, то ряд ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {f_{k}(z)}{z-z_{0}}}}$ равномерно сходится, так как ряд ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$ равномерно сходится. Тогда по теореме о почленном интегрировании получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}\left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)\right){\frac {dz}{z-z_{0}}}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f_{k}(z)}{z-z_{0}}}dz}$.

2. Формула Коши. Отсюда по интегральной формуле Коши

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f_{k}(z)}{z-z_{0}}}dz=\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z_{0})}$,

поэтому исходный ряд ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$ сходится во всех точках области ${\displaystyle D}$, и пусть его сумма равна, как и прежде на контуре ${\displaystyle \partial D}$, ${\displaystyle f(z)}$. Функция ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая, когда у неё единственная производная во всех точках области ${\displaystyle D}$.

3. Производная. Пусть точка ${\displaystyle z_{0}+h}$ также находится в области ${\displaystyle D}$. Тогда

${\displaystyle {\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)dz}{(z-z_{0})(z-z_{0}-h)}}}$,

следовательно, так как аналитическая функция имеет производную, существует предел

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{2}}}dz}$,

то есть ${\displaystyle f(z)}$ аналитическая в любой точке области ${\displaystyle D}$.

4. Почленное дифференцирование. Преобразуем интеграл ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{2}}}dz}$ точно так же, как был преобразован интеграл ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(z)}{z-z_{0}}}dz}$, получим:

${\displaystyle f'(z_{0})=\sum \limits _{k=1}^{\infty }f'_{k}(z_{0})}$,

то есть ряд ${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z_{0})}$ почленно дифференцируем.

Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций

Обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций

${\displaystyle f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)=f(z)}$

непосредственно распространяются на следующие равномерно сходящиеся последовательности функций^[64]:

${\displaystyle F_{1}(z),\,F_{2}(z),\,\dots ,\,F_{k}(z),\,\dots ,\quad }$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F_{k}(z)=F(z).}$

Замечание. В английской терминологии название теоремы Вейерштрасса таково, что оно подходит сразу для обоих формулировок теоремы (для рядов и для последовательностей): «предельная теорема Вейерштрасса», или «Теорема Вейерштрасса о голоморфности однородных пределов»^[1][65].

Действительно, указанная последовательность функций представляется как последовательность частичных сумм следующего ряда функций:

${\displaystyle F_{1}(z)+(F_{2}(z)-F_{1}(z))+(F_{3}(z)-F_{2}(z))+\cdots +(F_{k}(z)-F_{k-1}(z))+\cdots ,}$

причём эта последовательность функций сходится равномерно в некоторой области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда равномерно сходится в этой области указанный ряд функций. Следовательно, обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций применимы к равномерно сходящихся последовательностям функций^[64][66].

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для равномерно сходящейся последовательности функций^{[19][18][67][32][20]}.

Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций. Дано: бесконечная последовательность функций ${\displaystyle F_{1}(z),\,F_{2}(z),\,\cdots ,\,F_{k}(z),\,\cdots }$, аналитических в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$, равномерно сходится к функции ${\displaystyle F(z)}$ в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в исходной области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$. Доказать[19][18][67][32][20]: 1) в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle F(z)}$ аналитическая; 2) при дифференцировании этой последовательности возникает новая последовательность, также равномерно сходящаяся в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$ и определяющая производную функции ${\displaystyle F(z)}$, то есть последовательность можно почленно дифференцировать любое количество раз: ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {d^{m}F_{k}(z)}{dz^{m}}}={\frac {d^{m}F(z)}{dz^{m}}}}$ при любом ${\displaystyle m}$.

Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций

Обобщение последовательности комплексных функций

${\displaystyle F_{1}(z),\,F_{2}(z),\,\dots ,\,F_{k}(z),\,\dots ,\quad }$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F_{k}(z)=F(z).}$

с натуральным параметром ${\displaystyle k}$, используемых в теореме Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций, — это семейство функций с непрерывным параметром ${\displaystyle \alpha }$: ${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$^[64][22][20].

Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций. Дано: функция ${\displaystyle F_{\alpha }(z)}$, аналитическая в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, для всех значений комплексного параметра ${\displaystyle \alpha }$, лежащих в некоторой окрестности ${\displaystyle \alpha _{0}}$, ${\displaystyle \alpha \in \alpha _{0}\subset \mathbb {C} }$, причём предел ${\displaystyle \lim _{\alpha \to \alpha _{0}}F_{\alpha }(z)=F(z)}$ достигается равномерно в области ${\displaystyle D}$. Доказать[68][64][20]: 1) в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle F(z)}$ аналитическая; 2) нахождение производных и интегралов от функции ${\displaystyle \varphi (z)}$ можно проводить под знаком предела.

Эта теорема просто получается из теоремы Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций при построении произвольной последовательности

${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\dots ,\,\alpha _{k},\,\dots ,\quad }$ ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\alpha _{k}=\alpha _{0},}$

поскольку предел

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F_{\alpha _{k}}(z)=F(z)}$

достигается равномерно, и тогда к ряду с частичными суммами

${\displaystyle F_{\alpha _{1}}(z),\,F_{\alpha _{2}}(z),\,\dots ,\,F_{\alpha _{k}}(z),\,\dots }$

применяется теорем Вейерштрасса. Отсюда переход к утверждениям теоремы просто осуществляется при обычной формулировке определения предела ${\displaystyle \lim _{\alpha \to \alpha _{0}}F_{\alpha }(z)}$^[66][69].

Пример применения теоремы Вейерштрасса, сформулированной для случая семейства функций — исследование несобственного интеграла типа Коши^[70].

Несобственный интеграл типа Коши

Рассмотрим неограниченную с одной стороны кривую ${\displaystyle L}$, определяемую следующим образом:

${\displaystyle z=\lambda (t),\quad }$ ${\displaystyle \alpha \leqslant t<\beta ,\quad }$ ${\displaystyle \lim _{t\to \beta }\lambda (t)=\infty ,}$

и любая её конечная дуга^[англ.] ${\displaystyle L_{\tau }}$, ${\displaystyle \alpha \leqslant t\leqslant \tau <\beta }$, спрямляема^[70].

Введём семейство функций ${\displaystyle \{F_{\tau }(z)\}}$, составленное из интегралов типа Коши:

${\displaystyle F_{\tau }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}}$,

причём ${\displaystyle \varphi (w)}$ — непрерывная функция, определённая на кривой ${\displaystyle L}$, и поэтому функции семейства ${\displaystyle \{F_{\tau }(z)\}}$ определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой ${\displaystyle L}$^[70].

Лемма. Чтобы семейство функций ${\displaystyle \{F_{\tau }(z)\}}$ равномерно сходилось в каждой ограниченной замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$, в которой нет точек кривой ${\displaystyle L}$, должно, например, выполняться условие абсолютной сходимости интеграла ${\displaystyle \int \limits _{L}\varphi (w)dw}$, что равнозначно существованию следующего предела^[71]:

${\displaystyle \lim _{\tau \to \beta }\int \limits _{L_{\tau }}|\varphi (w)|d\sigma =\int \limits _{L}|\varphi (w)|d\sigma }$.

Доказательство. В каждой ограниченной замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$, в которой нет точек кривой ${\displaystyle L}$, получаем:

${\displaystyle |F_{\tau '}(z)-F_{\tau }(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{L_{\tau '}\setminus L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}\right|\leqslant {\frac {1}{2\pi \rho }}\left|\int _{L_{\tau '}}|\varphi (w)|d\sigma -\int _{L_{\tau }}|\varphi (w)|d\sigma \right|}$,

где ${\displaystyle \rho }$ — расстояние между замкнутой областью ${\displaystyle {\bar {D}}}$ и кривой ${\displaystyle L}$. Кроме того, для любого ${\displaystyle \epsilon >0}$ имеется такое ${\displaystyle \beta (\epsilon )<\beta }$, что при ${\displaystyle \tau ,\,\tau '>\beta (\epsilon )}$ верно следующее неравенство^[72]:

${\displaystyle |F_{\tau '}(z)-F_{\tau }(z)|<\epsilon }$. □

Несобственный интеграл типа Коши вдоль неограниченной кривой ${\displaystyle L}$, или интеграл типа Коши вдоль ${\displaystyle L}$ — несобственный интеграл

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}=\lim _{\tau \to \beta }{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{w-z}}}$,

который существует, когда функции семейства ${\displaystyle \{F_{\tau }(z)\}}$ определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой ${\displaystyle L}$, а само семейство равномерно сходится в каждой такой области^[72].

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций следует, что этот интеграл типа Коши есть некоторая аналитическая функция ${\displaystyle F(z)}$ в любой области, в которой нет точек кривой ${\displaystyle L}$^[72].

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций также следует, что семейство производных

${\displaystyle \left\{F_{\tau }^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}\right\}}$

также равномерно сходится к ${\displaystyle F^{(m)}(z)}$. С другой стороны, из равномерной сходимости семейства производных ${\displaystyle \{F_{\tau }^{(m)}(z)\}}$ вытекает, что имеется также следующий несобственный интеграл^[72]:

${\displaystyle {\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}=\lim _{\tau \to \beta }{\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{L_{\tau }}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}}$.

Поэтому

${\displaystyle F^{(m)}(z)={\frac {m!}{2\pi i}}\int \limits _{L}{\frac {\varphi (w)dw}{(w-z)^{m+1}}}}$,

то есть свойства, имеющие место для интегралов типа Коши, справедливы и для несобственных интегралов типа Коши^[72].

Полученные результаты обобщаются без изменения на случай, когда кривая ${\displaystyle L}$ неограниченна с обеих сторон, другими словами, функция ${\displaystyle z=\lambda (t)}$, определенная в интервале ${\displaystyle \alpha <t<\beta }$, удовлетворяет условиям ${\displaystyle \lim _{t\to \alpha }\lambda (t)=\lim _{t\to \beta }\lambda (t)=\infty }$ (например, кривая ${\displaystyle L}$ — прямая или парабола)^[73].

Степенной ряд по одной функции

В качестве ещё одного применения теоремы Вейерштрасса рассмотрим следующую теорему о степенном ряде по одной функции^[74].

Теорема о степенном ряде по одной функции. Дано: функция ${\displaystyle f}$, аналитическая в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, причём значения функции ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle D}$ принадлежат кругу сходимости степенного ряда ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots }$. Доказать: 1) сумма степенного ряда по функции ${\displaystyle f}$ — функция ${\displaystyle F(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(f(z))^{k}}$ — аналитическая в области ${\displaystyle D}$; 2) последнее равенство почленно дифференцируется сколько угодно раз[74].

Доказательство. Пусть ${\displaystyle D'}$ — любое замкнутое множество в области ${\displaystyle D}$. Значения функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle D'}$ есть замкнутое множество, принадлежащее кругу сходимости ряда ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)}$. Следовательно, ряд

${\displaystyle F(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(f(z))^{k}}$

равномерно сходится на множестве ${\displaystyle D'}$, и, по теореме Вейерштрасса, его сумма ${\displaystyle F(z)}$ есть аналитическая функция во внутренних точках множества ${\displaystyle D'}$ и, кроме того, он почленно дифференцируем во внутренних точках множества ${\displaystyle D'}$. Но так как множество ${\displaystyle D'}$ — произвольное замкнутое, то его всегда можно выбрать так, что произвольно взятая точка области ${\displaystyle D}$ — это внутренняя точка множества ${\displaystyle D'}$. Теорема доказана^[74].

Следствие. В частном случае при аналитичности функции ${\displaystyle f}$ в области ${\displaystyle D}$ и сходимости ряда ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(z)}$ во всей конечной комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ сумма ряда ${\displaystyle F(z)}$ есть функция, аналитическая в области ${\displaystyle D}$, и ряд ${\displaystyle F(z)}$ дифференцируется сколько угодно раз.

Обобщения теоремы Вейерштрасса

Комплексное пространство

Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку^{[4][22][18][67][32][20]}. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменного^[22].

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для случая нескольких комплексных переменных^[4][22].

Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций. Дано: бесконечный ряд функций ${\displaystyle f(z)=f_{1}(z)+f_{2}(z)+\cdots +f_{k}(z)+\cdots =\sum \limits _{k=1}^{\infty }f_{k}(z)}$, голоморфных в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, ${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})}$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$, причём ряд равномерно сходится к сумме ${\displaystyle f(z)}$ в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}}$, полностью находящейся в исходной области ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$. Доказать[4][22]: 1) в области ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$ голоморфная; 2) при любом частном дифференцировании этого ряда любое количество раз возникает новый ряд, также равномерно сходящийся в любой замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D'}}\subset D}$ и определяющий соответствующую частную производную функции ${\displaystyle f(z)}$, то есть ряд можно почленно дифференцировать любым способом любое количество раз: ${\displaystyle {\frac {\partial ^{|m|}f(z)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{|m|}f_{k}(z)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}},}$ ${\displaystyle m=(m_{1},\,\dots ,\,m_{n})\in \mathbb {Z} _{0}^{n},\quad |m|=m_{1}+\cdots +m_{n},}$ или ${\displaystyle {\frac {\partial ^{|m|}f(z)}{\partial z^{m}}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{|m|}f_{k}(z)}{\partial z^{m}}},}$ или ${\displaystyle D^{m}f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }D^{m}f_{k}(z).}$

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству в случае одного переменного на комплексной плоскости^[22].

Следствие 1. Степенной ряд по ${\displaystyle z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n}}$, сходящийся в открытом поликруге векторного радиуса ${\displaystyle \Delta ^{n}(\mathbf {r} )}$ с центром в начале координат комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, имеет сумму, аналитическую в области ${\displaystyle \Delta ^{n}(\mathbf {r} )}$^[32].

Следствие 2. Рассмотрим открытое множество ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}(z)}$, компактное пространство ${\displaystyle K(w)}$, меру Радона ${\displaystyle \mu (w)}$ на ${\displaystyle K(w)}$, непрерывную функцию ${\displaystyle (z,\,w)\to f(z,\,w)}$ на прямом произведении ${\displaystyle D\times K}$, причём ${\displaystyle z\to f(z,\,w)}$ — голоморфная функция на ${\displaystyle D}$ для любого фиксированного ${\displaystyle w\in K(w)}$. Тогда: 1) функция

${\displaystyle F(z)=\int \limits _{K}f(z,\,w)d\mu (w)}$

голоморфна на ${\displaystyle D}$; 2) имеет место следующая формула для частных производных^[32]:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{|m|}F(z)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}}=\int \limits _{K}{\frac {\partial ^{|m|}f(z,\,w)}{\partial z_{1}^{m_{1}}\partial z_{2}^{m_{2}}\dots \partial z_{n}^{m_{n}}}}d\mu (w),}$

${\displaystyle m=(m_{1},\,\dots ,\,m_{n})\in \mathbb {Z} _{0}^{n},\quad |m|=m_{1}+\cdots +m_{n}.}$

Отсюда вытекает интегральная формула Коши для частных производных функции, которая голоморфна в замкнутом поликруге векторного радиуса^[32].

Топологическое пространство

Теорему Вейерштрасса можно топологизировать, то есть интерпретировать в терминах топологического векторного пространства^[67].

Рассмотрим область ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$. Обозначим множество всех непрерывных на ${\displaystyle D}$ функций через Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} , а множество всех голоморфных на ${\displaystyle D}$ функций — через ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$. Множества Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} и ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$ суть векторные пространства над полем комплексных чисел^[67].

Топологизируем векторные пространства Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} и ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$, то есть наделим их топологией и получим в результате топологические векторные пространства. Снабдим Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} и ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$ топологией равномерной сходимости на компактных (то есть ограниченных и замкнутых) подмножествах. А именно: если функция ${\displaystyle f_{l}}$ непрерывна (или голоморфна) на ${\displaystyle D}$, Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle f_l \in \text{𝒞}_D} (соответственно ${\displaystyle f_{l}\in {\text{ℋ}}_{D}}$), то тогда ${\displaystyle f_{l}\to 0}$ при ${\displaystyle \|f_{l}\|_{K}\to 0}$, ${\displaystyle l\to \infty }$, на любом компакте ${\displaystyle K\subset D}$^[67].

Фундаментальная система окрестностей начала координат определяется множествами Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒱}\left(K_m,\, \frac1m\right)} , где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒱}\,(K,\, a)} , ${\displaystyle a>0}$, — множество таких функций Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle f \in \text{𝒞}_D} (соответственно ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$), для которых ${\displaystyle \|f\|_{K}<a}$, при этом ${\displaystyle \{K_{m}\}}$ есть последовательность компактов, удовлетворяющих следующим условиям^[67]:

${\displaystyle K_{m}\subset K_{m+1}\setminus \partial K_{m+1},\quad }$ ${\displaystyle \bigcup \limits _{m=1}^{\infty }K_{m}\setminus \partial K_{m}=D.}$

Кроме того, получается, что Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} есть ${\displaystyle {\text{ℱ}}}$-пространство, то есть это полное топологическое векторное пространство, обладающее счётной фундаментальной системой окрестностей нуля^[67].

Теорема Вейерштрасса в терминах топологического векторного пространства. Дано: топологизированные множества непрерывных Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} и голоморфных ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$ функций в некоторой области ${\displaystyle D}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}(z)}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, ${\displaystyle z=(z_{1},\,z_{2},\,\dots ,\,z_{n})}$, ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$. Доказать: ${\displaystyle {\text{ℋ}}_{D}}$ есть замкнутое подпространство Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \text{𝒞}_D} [67].