Нормальная форма Смита

Нормальная форма Смита — это диагональная (не обязательно квадратная) матрица над областью главных идеалов, каждый следующий диагональный элемент которой делится на предыдущий. Любую матрицу над областью главных идеалов можно привести к нормальной форме Смита путём умножения слева и справа на обратимые матрицы^[1].

Формулировка

Для любой матрицы ${\displaystyle A}$ размера ${\displaystyle m\times n}$ над областью главных идеалов ${\displaystyle R}$ существуют такие обратимые над ${\displaystyle R}$ матрицы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$, что ${\displaystyle BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)}$, где ${\displaystyle g_{i+1}}$ делится на ${\displaystyle g_{i}}$. Здесь ${\displaystyle \mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)}$ обозначает матрицу размера ${\displaystyle m\times n}$ с указанными диагональными элементами и нулями на остальных позициях.

Применения

Из теоремы о нормальной форме Смита следует известная теорема о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных идеалов. В частности, если ${\displaystyle R}$ — кольцо целых чисел, то из нормальной формы Смита получается теорема о строении конечнопорожденных абелевых групп, а если ${\displaystyle R=F[t]}$ — кольцо многочленов над алгебраически замкнутым полем ${\displaystyle F}$, то из нее можно вывести теорему о жордановой форме линейного оператора.

См. также

• Эрмитова нормальная форма