Оператор Гильберта — Шмидта

Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве

Определение

Пусть ${\displaystyle T:H\to K}$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
Для ${\displaystyle T}$ можно выбрать ортонормированные системы ${\displaystyle \{e_{1}^{'},e_{2}^{'},...\}\subset H}$, ${\displaystyle \{e_{1}^{''},e_{2}^{''},...\}\subset K}$ и последовательность неотрицательных чисел ${\displaystyle \{s_{n}\}}$ так, что ${\displaystyle Tx=\sum _{n}s_{n}(x,e_{n}^{'})e_{n}^{''}}$.
${\displaystyle T}$ называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его ${\displaystyle s}$-чисел выполнено неравенство: ${\displaystyle \sum _{n}s_{n}^{2}<\infty }$.
Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают: ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H,K)}$

Свойства

• Класс ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H,K)}$ представляет собой банахово пространство относительно нормы ${\displaystyle ||T||_{HS}={\sqrt {\sum _{n}s_{n}^{2}}}}$
• Совокупность операторов конечного ранга плотна в ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H,K)}$
• Пространство ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H,K)}$ - сепарабельно, если ${\displaystyle H,K}$ - сепарабельны
• Если ${\displaystyle T_{1},T_{2}\in \mathbf {S} _{2}(H)}$, то ${\displaystyle T=T_{1}T_{2}}$ - ядерный оператор и
  ${\displaystyle ||T||_{\mathcal {N}}\leq ||T_{1}||_{HS}||T_{2}||_{HS}}$
• В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса
• Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта
• ${\displaystyle T}$ - оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы ${\displaystyle \{e_{n}\}_{n\in I}}$ и ${\displaystyle \{f_{m}\}_{m\in J}}$ в пространстве ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle K}$ соответственно, что ${\displaystyle \sum _{n,m}|\langle T(e_{n}),f_{m}\rangle _{K}|^{2}<+\infty }$. Величину ${\displaystyle \langle T(e_{n}),f_{m}\rangle _{K}}$ называют матричным элементом оператора${\displaystyle T}$. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта

Класс ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H)}$ можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов ${\displaystyle T_{1},T_{2}\in \mathbf {S} _{2}(H)}$ ввести скалярное произведение:
${\displaystyle \langle T_{1},T_{2}\rangle =\operatorname {Tr} (T_{1}T_{2}^{*})=\operatorname {Tr} (T_{2}^{*}T_{1})}$, которое вдобавок согласуется с ${\displaystyle ||\cdot ||_{2}}$.

Из этого следует ряд свойств:

• Класс ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H)}$ - сепарабельное гильбертово пространство.
• Пусть ${\displaystyle \{e_{k}^{'}\}}$ и ${\displaystyle \{e_{l}^{''}\}}$ - какие-либо ортонормированные базисы в ${\displaystyle H}$. Тогда система одномерных операторов ${\displaystyle T_{kl}=(\cdot ,e_{k}^{'})e_{l}^{''}}$ образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве ${\displaystyle \mathbf {S} _{2}(H)}$

Примеры

• Оператор в ${\displaystyle L_{2}[a,b]}$ является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром.
• Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта

Литература

• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• А. Пич. Ядерные локально выпуклые пространства. — МИР, 1967. — 266 с.
• М. Ш. Бирман М. З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. — Лань, 2010. — 458 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-8114-1076-7.

См. также

• Компактный оператор
• Ядерный оператор