Нётерово пространство

Нётерово простра́нство (по имени Эмми Нётер) — топологическое пространство X, удовлетворяющее условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств^[1][2]. То есть для каждой последовательности замкнутых подмножеств ${\displaystyle Y_{i}}$ пространства X такой, что:

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

существует целое число r, что ${\displaystyle Y_{s}=Y_{r}~\forall s>r.}$

Это условие эквивалентно тому, что каждое подмножество ${\displaystyle X}$ компактно.

Эквивалентные определения

Топологическое пространство ${\displaystyle X}$ называется нётеровым, если выполнено одно из следующих эквивалентных утверждений:

• ${\displaystyle X}$ удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей замкнутых подмножеств^[1][2];
• ${\displaystyle X}$ удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей открытых подмножеств^[3];
• каждое непустое семейство замкнутых подмножеств в ${\displaystyle X}$, упорядоченное по включению имеет минимальный элемент^[1][3];
• каждое непустое семейство открытых подмножеств в ${\displaystyle X}$, упорядоченное по включению имеет максимальный элемент^[3];
• каждое подмножество ${\displaystyle X}$ компактно (с топологией подпространства);
• каждое открытое подмножество ${\displaystyle X}$ компактно^[1].

Свойства

• Хаусдорфово пространство нётерово тогда и только тогда, когда оно конечное (и при этом оно будет дискретным)^[3].
• Каждое подпространство пространства Нётер снова является пространством Нётер^[1][3].
• Если пространство ${\displaystyle X}$ можно покрыть конечным числом нётеровых подпространств, то ${\displaystyle X}$ само нётерово^[1].
• Нётерово пространство ${\displaystyle X}$ представимо в виде объединения конечного числа своих неприводимых компонент^[1][2].

Примеры

Нётеровы пространства часто встречаются в алгебраической геометрии.

• Пространство ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ( аффинное n-мерное пространство над полем k) с топологией Зарисского является топологическим пространством Нётер^[2]. Согласно определению топологии Зарисского в ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ если:

${\displaystyle Y_{1}\supseteq Y_{2}\supseteq Y_{3}\supseteq \cdots }$

есть убывающая последовательность замкнутых множеств, то:

${\displaystyle I(Y_{1})\subseteq I(Y_{2})\subseteq I(Y_{3})\subseteq \cdots }$

является возрастающей последовательностью идеалов ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ (${\displaystyle I(Y_{i})}$ обозначает идеал полиномиальных функций, равных нулю в каждой точке ${\displaystyle (Y_{i})}$). Поскольку ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ является кольцом Нётер, существует целое число ${\displaystyle m}$, такое что:

${\displaystyle I(Y_{m})=I(Y_{m+1})=I(Y_{m+2})\cdots .}$

Учитывая однозначное соответствие между радикальными идеалами ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ и замкнутыми (в топологии Зарисского) множествами ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ выполняется ${\displaystyle V(I(Y_{i}))=Y_{i}}$ для всех i. Поэтому: ${\displaystyle Y_{m}=Y_{m+1}=Y_{m+2}=\cdots }$

• Примерами нётеровых пространств является спектры коммутативных колец. Если ${\displaystyle R}$ — кольцо Нётер, то пространство ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ (спектр ${\displaystyle R}$) является нётеровым^[1].

См. также

• Нётеровость