Многочлены Лагерра

В математике многочлены Лаге́рра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями уравнения Лагерра:

${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}$

Многочлены Лагерра
Общая информация
Формула	${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)}$
Скалярное произведение	${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx}$
Область определения	${\displaystyle x\geq 0}$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0,}$
Названы в честь	Лагерр, Эдмон Никола

являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В физической кинетике эти же многочлены (иногда с точностью до нормировки) принято называть полиномами Сонина или Сонина — Лагерра^[1]. Многочлены Лагерра также используются в квадратурной формуле Гаусса — Лагерра численного вычисления интегралов вида:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$

Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как ${\displaystyle L_{0},\;L_{1},\;\ldots }$, являются последовательностью полиномов, которая может быть найдена по формуле Родрига

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}.}$

Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением:

${\displaystyle \langle f,\;g\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

Последовательность полиномов Лагерра — это последовательность Шеффера.

Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шрёдингера для атома с одним электроном.

Имеются и другие применения многочленов Лагерра.

Несколько первых многочленов

В следующей таблице приведены несколько первых многочленов Лагерра:

${\displaystyle n}$	${\displaystyle L_{n}(x)}$
0	${\displaystyle 1}$
1	${\displaystyle -x+1}$
2	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)}$
3	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)}$
4	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)}$
5	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)}$
6	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)}$

Первые 6 многочленов Лагерра.

Рекуррентная формула

Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой:

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}{\bigl [}(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x){\bigr ]},\quad \forall k\geqslant 1,}$

предопределив первые два полинома как:

${\displaystyle L_{0}(x)=1,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x.}$

Обобщённые полиномы Лагерра

Обобщённые полиномы Лагерра ${\displaystyle L_{n}^{a}(x)}$ являются решениями уравнения:

${\displaystyle x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,}$

так что ${\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{0}(x)}$.