Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {O} }$, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Впервые рассмотрена в 1843 году Джоном Грейвсом^[англ.], приятелем^[1] Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже — независимо Артуром Кэли.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов ${\displaystyle \{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}}$, то есть октава ${\displaystyle x}$ может быть записана в форме:

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

с вещественными коэффициентами ${\displaystyle x_{i}}$. Октонионы находят применение в физике, в частности, в специальной теории относительности и теории струн^[2].

Таблицы умножения

Таблица умножения элементов октавы:

1	i (e1)	j (e2)	k (e3)	l (e4)	il (e5)	jl (e6)	kl (e7)
i (e1)	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j (e2)	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k (e3)	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l (e4)	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il (e5)	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl (e6)	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl (e7)	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов^[3]:

e0	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	−1	e3	−e2	e5	−e4	−e7	e6
e2	−e3	−1	e1	e6	e7	−e4	−e5
e3	e2	−e1	−1	e7	−e6	e5	−e4
e4	−e5	−e6	−e7	−1	e1	e2	e3
e5	e4	−e7	e6	−e1	−1	−e3	e2
e6	e7	e4	−e5	−e2	e3	−1	−e1
e7	−e6	e5	e4	−e3	−e2	e1	−1

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Номер	1	2	3	4	5	6	7
Буквы	i	j	k	l	il	jl	kl
Замена	i	j	k	l	m	n	o

Свойства

По теореме Фробениуса алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Для октониона ${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$ операция сопряжения определена равенством:

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl}$.

Сопряжение удовлетворяет равенствам:

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$ и

${\displaystyle x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).}$

Вещественная часть октониона ${\displaystyle x}$ определена равенством:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+x^{*})=x_{0}}$,

мнимая часть:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-x^{*})}$.

Норма октониона ${\displaystyle x}$: ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$; ${\displaystyle \|x\|=0}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=0}$. Из определения нормы следует, что октонион ${\displaystyle x\neq 0}$ обратим и

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$.

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.