Операда

Операда даёт общий подход к описанию таких свойств, как коммутативность или антикоммутативность, а также различные вариации ассоциативности. Отношение алгебры и операды похожи на отношение представлений групп и групп.

Определение

Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств ${\displaystyle \{R_{n},\;n\geqslant 1\}}$ с левым действием симметрических групп ${\displaystyle S_{n}}$ на соответствующих ${\displaystyle R_{n}}$ и с операциями композиции:

${\displaystyle R_{n_{1}}\times \ldots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\to R_{n_{1}+\ldots +n_{m}}:(r_{1},\;\ldots ,\;r_{m},\;r)\to r_{1}\ldots r_{m}r,}$

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

${\displaystyle (r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}r_{1})\ldots (r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m}r_{m})r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m})(r_{1}\ldots r_{m}r)}$

и наличию единицы ${\displaystyle \varepsilon \in R_{1}:(\varepsilon \ldots \varepsilon )r=r,\quad r\varepsilon =r}$.

Операда называется линейной, если ${\displaystyle R_{n}}$ являются пространствами, действия симметрических групп ${\displaystyle S_{n}}$ являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство ${\displaystyle A}$ c полилинейными операциями композиции:

${\displaystyle A^{\otimes n}\otimes _{S_{n}}R_{n}\to A:a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1}\ldots a_{n}r}$

со свойствами унитарности ${\displaystyle a\varepsilon =a}$ и обобщённой ассоциативности:

${\displaystyle (a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}r_{1})\ldots (a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m}r_{m})r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m})(r_{1}\ldots r_{m}r).}$

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

• Простейшей операдой является ассоциативное кольцо ${\displaystyle R}$ с единицей: ${\displaystyle R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\}}$. Алгебра над ней — это правый ${\displaystyle R}$-модуль.
• Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами ${\displaystyle \{k(S_{n}),\;n\geqslant 1\}}$, а также и на ${\displaystyle \{k(G^{n}),\;n\geqslant 1\}}$, где ${\displaystyle G}$ — моноид.

История

Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком Джеймсом Сташефом^[англ.] в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье 1968 года. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года. Немного позднее родственное понятие операд и алгебр над ними было открыто американским топологом Дж. Питером Мэем. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Питера Мэя.^[1] Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.