Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Оператор набла

векторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Опера́тор на́блавекторный дифференциальный оператор, компоненты которого являются частными производными по координатам. Обозначается символом ∇ (набла).

Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольной декартовой системе координат[1] оператор набла определяется следующим образом:

,

где  — единичные векторы по осям соответственно.

Также используется следующая запись оператора набла через компоненты:

.

Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), а также оператор Лапласа (см. ниже). Широко употребляется в описанном смысле в физике и математике (хотя иногда графический символ используется также для обозначения некоторых других, хотя в некотором отношении не совсем далёких от рассмотренного, математических объектов, например, ковариантной производной).

Под n-мерным оператором набла подразумевается вектор в n-мерном пространстве[2] следующего вида:

,

где  — единичные векторы по осям соответственно.

Иногда, особенно при начертании от руки, над оператором набла рисуют стрелку:  — чтобы подчеркнуть векторный характер оператора. Смысл такого начертания ничем не отличается от обычного .

  • Иногда (особенно когда речь идёт только о применении к скалярным функциям), оператор набла называют оператором градиента, каковым он в применении к скалярным функциям (полям) и является.
  • Замечание: в физике в наше время[когда?] название оператор Гамильтона по отношению к оператору набла стараются не употреблять, особенно в квантовой физике, во избежание путаницы с квантовым гамильтонианом, имеющим, в отличие от классического, операторную природу.
Remove ads

Свойства оператора набла

Суммиров вкратце
Перспектива

Этот оператор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.

Для скалярной функции ,

,

представляет собой её градиент.

Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

,

то есть дивергенция вектора .

Если векторно умножить на , то получится ротор вектора :

  • Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использоваными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом:

.

Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле.

Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку:

Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

Remove ads

Операторы второго порядка

Суммиров вкратце
Перспектива

Так как существуют различные способы перемножения векторов и скаляров, с помощью оператора набла можно записать различные виды дифференцирования. Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 различных вариантов производных второго порядка:

Для достаточно гладких полей (дважды непрерывно дифференцируемых) эти операторы не независимы. Два из них всегда равны нулю:

Два всегда совпадают:

Три оставшихся связаны соотношением:

Ещё одно может быть выражено через тензорное произведение векторов:

Remove ads

Отличия оператора набла от обычного вектора

Суммиров вкратце
Перспектива

Хотя большинство свойств оператора набла следуют из алгебраических свойств операторов и чисел и становятся вполне очевидными, если рассматривать его как вектор, нужно соблюдать осторожность. Оператор набла не принадлежит тому же пространству, что и обычные векторы, а говоря точнее, скалярное и векторное произведение для него определено с некоторыми отличиями (в основном сводящимися к тому, что — как это обычно подразумевается — оператор действует на те поля, что стоят от него справа, и не действует на стоящие от него слева, из-за чего скалярное и векторное произведение с участием не коммутативны и не антикоммутативны, как это свойственно для таких произведений обычных векторов), таким образом, оператор набла не обладает некоторыми свойствами обычных векторов, и следовательно не во всём может вести себя в соответствии с геометрическими свойствами обычного вектора. В частности,

он не коммутирует с векторами:

,

ведь  — это дивергенция, то есть в конечном итоге просто скалярная функция координат, а представляет собой нетривиальный оператор дифференцирования по направлению векторного поля .

Можно дополнительно убедиться в том, что они не совпадают, применив оба выражения к скалярной функции f:

так как

Если бы набла был вектором, то смешанное произведение было бы всегда равно нулю, однако несложно убедиться, что это неверно.

Кроме того, необходимо помнить, на какие векторы и функции действует каждый оператор набла в написанной формуле, например:

(здесь первый оператор набла действует только на поле , а второй — только на поле , что как бы жёстко фиксирует порядок действий). Тогда как для обычных векторов:

поскольку здесь и легко выносятся.

Поэтому для удобства, при умножении оператора набла на сложное выражение, обычно дифференцируемое поле обозначают стрелочкой:

Если оператор не действует на некоторое поле, то вектор поля и оператор коммутируют (для векторного произведения — антикоммутируют). Векторы в смешанных произведениях примера вынесены влево от оператора и конечное выражение записано без стрелочек.

Remove ads

История

В 1853 году Уильям Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ в виде перевёрнутой греческой буквы (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах П. Г. Тэта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот), однако позднее английские учёные, в том числе О. Хевисайд, стали называть этот символ «на́бла» из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы, а оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла[3].

Согласно некоторым источникам[4],  — буква финикийского алфавита, происхождение которой связано с музыкальным инструментом типа арфы, так как «ναβλα» (набла) на древнегреческом означает «арфа». Наблий — разновидность арфы[5].

Remove ads

Примеры

Remove ads

См. также

Примечания

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads