Альтернативная матрица

Не следует путать с Альтернированной матрицей.

Альтернати́вная ма́трица^[1][2] (англ. Alternant matrix) — в линейной алгебре матрица специального вида размерности ${\displaystyle m\times n}$, задаваемая с помощью ${\displaystyle m}$ элементов ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\dots \alpha _{m}}$ и ${\displaystyle n}$ функций ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots f_{n}}$ так, что каждый элемент матрицы ${\displaystyle M_{i,j}=f_{j}(\alpha _{i})}$^[3] или, в развёрнутом виде:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\dots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\dots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\dots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\dots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}}$

Иногда альтернативная матрица определяется в траспонированном виде.

Примеры и использование альтернативных матриц

Распространённый и часто встречающийся частный случай альтернативной матрицы — матрица Вандермонда. Альтернативная матрица принимает этот вид при ${\displaystyle f_{i}(\alpha )=\alpha ^{i-1}}$. (Некоторые авторы называют именно матрицу Вандермонда альтернативной^[4][5].) Более редкий частный случай альтернативной матрицы — матрица Мура^[англ.], в которой ${\displaystyle f_{i}(\alpha )=\alpha ^{q^{i-1}}}$.

В более общем виде альтернативные матрицы применяются в теории кодирования.

Свойства альтернативных матриц

Если исходная альтернативная матрица квадратная и если все функции ${\displaystyle f_{j}(x)}$ полиномиальны, то при условии ${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha _{j}}$ для всех ${\displaystyle i<j}$ детерминант альтернативной матрицы равен нулю, и таким образом, ${\displaystyle (\alpha _{j}-\alpha _{i})}$ является делителем детерминанта такой альтернативной матрицы при любых ${\displaystyle i,j}$, удовлетворяющим условию ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n}$. Следовательно, детерминант Вандермонда

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{n}&\dots &\alpha _{n}^{n-1}\\\end{bmatrix}}}$

равный ${\displaystyle \prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}$ также является делителем детерминантов таких альтернативных матриц. Отношение ${\displaystyle {\frac {\det M}{\det V}}}$ носит специальное название «биальтернант».

Заметим также, что в случае, когда ${\displaystyle f_{j}(x)=x^{m_{j}}}$, мы получаем классическое определение многочленов Шура.

См. также

• Матрица Вандермонда
• Список матриц

Литература

• A. C. Aitken. Determinants and Matrices. — 9th edition. — Edinburgh: Oliver and Boyd Ltd, 1956. — С. 111—123. — 144 с.
• Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 2. — С. 334—342. — ISBN 0521560691.
• Thomas Muir. A treatise on the theory of determinants. — Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2003. — С. 321—363. — 766 с. — ISBN 0486495531.