Транспонированная матрица

Транспонированная матрица — матрица ${\displaystyle A^{T}}$, полученная из исходной матрицы ${\displaystyle A}$ заменой строк на столбцы.

Формально, транспонированная матрица для матрицы ${\displaystyle A}$ размеров ${\displaystyle m\times n}$ — матрица ${\displaystyle A^{T}}$ размеров ${\displaystyle n\times m}$, определённая как ${\displaystyle A_{ij}^{T}=A_{ji}}$.

Например,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$ и ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;}$

То есть для получения транспонированной матрицы из исходной нужно каждую строчку исходной матрицы записать в виде столбца в том же порядке.

Свойства транспонированных матриц

• Дважды транспонированная матрица А равна исходной матрице А.

${\displaystyle (A^{T})^{T}=A}$

• Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц.

${\displaystyle (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}}$

• Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке.

${\displaystyle (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}$

• При транспонировании можно выносить скаляр.

${\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T}}$

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

${\displaystyle \det A=\det A^{T}}$

Связанные определения

Симметричная матрица (симметрическая матрица) — матрица, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle S^{T}=S}$.

Для того чтобы матрица ${\displaystyle S}$ была симметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица ${\displaystyle S}$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны, то есть ${\displaystyle S_{ij}=S_{ji}}$.

Антисимметричная (кососимметричная) матрица (антисимметрическая, кососимметрическая) — матрица, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle A^{T}=-A}$.

Для того чтобы матрица ${\displaystyle A}$ была антисимметричной, необходимо и достаточно, чтобы:

• матрица ${\displaystyle A}$ была квадратной;
• элементы, симметричные относительно главной диагонали, были равны по модулю и противоположны по знаку, то есть ${\displaystyle A_{ij}=-A_{ji}}$.

Отсюда следует, что элементы главной диагонали антисимметричной матрицы равняются нулю: ${\displaystyle A_{ii}=0}$.

Для любой квадратной матрицы ${\displaystyle M}$ имеется представление ${\displaystyle M=S+A}$,

где ${\displaystyle S={\frac {M+M^{T}}{2}}}$ — симметричная часть, ${\displaystyle A={\frac {M-M^{T}}{2}}}$ — антисимметричная часть.

См. также

• Сопряжённо-транспонированная матрица