Функция Радемахера

Функция Радемахера — кусочно-постоянная периодическая функция, принимающая только два значения 1 и −1 на всей области определения. Введены Гансом Радемахером в 1922 году^[1]. График функции представляет собой меандр.

Графики функций Радемахера с ${\displaystyle \nu =1,2,3}$

Функция Радемахера может быть выражена следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {rad} _{n}(x)=\operatorname {sign} \left(\sin \left(2^{n}\pi x\right)\right)}$

Система функций Радемахера является ортонормированной в пространстве ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$, поскольку:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {rad} _{n}(x)\cdot \operatorname {rad} _{m}(x)\mathrm {d} x=\delta _{mn}}$,

где ${\displaystyle \delta _{mn}}$ — символ Кронекера.

Система функций Радемахера является неполной. На их основе можно построить функции Уолша:

${\displaystyle \operatorname {wal} _{\nu }(x)=\operatorname {rad} _{\operatorname {lb} \nu }(x)}$,

где ${\displaystyle \operatorname {lb} \nu =\log _{2}\nu }$ — двоичный логарифм.

Функцию Радемахера можно задать через функцию Хаара ${\displaystyle \psi (x)}$:

${\displaystyle \operatorname {rad} _{\nu }(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\psi (2^{\nu }x+k)}$