Ортополюс

Ортополюс системы, состоящей из треугольника ABC и прямой линии ℓ (на рис. справа этой прямой ℓ соответствует прямая A ′ C ′) в данной плоскости, является точкой, определяемой следующим образом.^[1]. Пусть A ′, B ′, C ′ — основания перпендикуляров, проведенных к прямой ℓ из вершин треугольника соответственно A, B, C. Пусть A ′′, B ′′, C ′′ — основания перпендикуляров, проведенных к соответствующим противоположным сторонам A, B, C указанного треугольника или к продолжениям этих сторон. Тогда три прямые линии A ′ A ′′, B ′ B ′′, C ′ C ′′, пересекутся в одной точке — в ортополюсе H.^[2] Благодаря своим многочисленным свойствам^[3] ортополюсы стали предметом серьезного изучения ^[4]. Изучались некоторые ключевые понятия — определение линий, имеющих данный ортополюс ^[5] и ортополюсные окружности.^[6]

Ортополюс H системы, состоящей из треугольника ABC и прямой линии ℓ (она изображена в виде прямой A ′ C ′)

Свойства

Замечание

Везде ниже в тексте ортополюсу P соответствует ортополюс H на рис. справа, а прямой ℓ ортополюса P на том же рис. соответствует прямая A ′ C ′.

Ортополюс и ортоцентр

• Если проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^[7]
• Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника.^[8]

Ортополюс как радикальный центр

• Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.^[9]

Ортополюс и описанная окружность

• Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^{[3] [10]}
• Из последнего свойства следует, что для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через центр описанной окружности треугольника, является окружность Эйлера этого треугольника.
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.^[11]
• Для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через фиксированную точку, лежащую на описанной окружности треугольника, является прямая (отрезок).

Ортополюс и прямая Симсона

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей.^[3]
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ^[3]

Ортополюсы параллельных прямых

• Если прямая ℓ ортополюса перемещается параллельно самой себе, то ее ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной ℓ, на расстояние, равное перемещению.^[3]
• Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми.^[12]

Ортополюсы троек вершин четырехугольника

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии ℓ относительно четырехугольника.^[13]

Коника (эллипс), порожденная ортополюсами

• Известно (см. ^[14][15]), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов ${\displaystyle O_{PQ}}$ для всех прямых ${\displaystyle PQ}$, проходящих через неподвижную точку ${\displaystyle P}$, порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка ${\displaystyle P}$ находится на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье ^[16], согласно которому для точки ${\displaystyle P}$, совпадающей с центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ треугольника, коника становится окружностью Эйлера ^[17]
• Замечание. В данной статье в параграфе "Ортополюс и описанная окружность" упомянутое выше свойство звучит так:

Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^[3][18]

Точки Фейербаха , как ортополюсы

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C}}$, касающиеся соответственно 3 разных сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) ^[19]. Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых ℓ для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры ^[20]. Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точка Фейербаха может быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера^[21].

Обобщение

Существование ортополюса вытекает из более общей теоремы, так называемой теоремы Штейнера об ортологических треугольниках ^[22].

Теорема Штейнера об ортологичных треугольниках утверждает (см. Теорема Штейнера об ортологических треугольниках), что, если Δ ABC ортологичен Δ A'B'C' , то это эквивалентно тому, что Δ A'B'C' ортологичен Δ ABC. В случае ортополюса проекции вершин треугольника ABC на прямую линию ℓ — точки A' , B' , C' — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удаленной точке.

• Треугольники ортологические — треугольники ABC и A₁B₁C₁, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.

История

Ортополюс был открыт математиком М. Сунсом (M. Soons) в 1886-м году в статье на с. 57 в бельгийском научном журнале по элементарной математике Mathesis (journal)^[англ.], основанным в 1881 году Полем Мансионом (Paul Mansion) и Жозефом Жаном Батистом Нойбергом (Joseph Jean Baptiste Neuberg), а сам термин ортополюс (orthopole) предложен упомянутым Нойбергом в журнале "Mathesis" за 1911-й год на с. 244 согласно источникам^[23],^[24]

Замечание

Данное в самом начале определение ортополюса в книге Ефремова называется теоремой Сунса ^[25].

См. также

Полюс и поляра