Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Вписанные и вневписанные в треугольник окружности

окружности, касающиеся сторон или их продолжений в треугольнике Из Википедии, свободной энциклопедии

Вписанные и вневписанные в треугольник окружности
Remove ads

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Thumb
Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[англ.]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[англ.] и биссектрис двух других внешних углов[англ.]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[англ.][1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Remove ads

Связь с площадью треугольника

Суммиров вкратце
Перспектива

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника[2].

Вписанная окружность

Thumb

Пусть имеет вписанную окружность радиуса с центром Пусть  — длина  — длина а  — длина

Пусть вписанная окружность касается в некоторой точке тогда является прямым и радиус будет высотой треугольника .

Таким образом, имеет основание длины и высоту а следовательно, его площадь равна .

Подобным же образом имеет площадь и имеет площадь .

Поскольку эти три треугольника составляют , получаем, что:

где  — площадь ,
 — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен а другой равен .

То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

Вневписанные окружности

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен , а её центр — . Тогда является высотой треугольника , так что имеет площадь . По тем же причинам имеет площадь , а имеет площадь . Тогда

.

Таким образом, ввиду симметрии,

.

По теореме косинусов получаем

Комбинируя это с тождеством , получим

Но , так что

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с , получим

.

Аналогично, даёт

.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , и равенство достигается только на правильных треугольниках[4].

Remove ads

Связанные построения

Суммиров вкратце
Перспектива

Окружность девяти точек и точка Фейербаха

Треугольник и точка Жергонна

Thumb
Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, и т. д.. Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[англ.] с выколотым центром[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Трилинейные координаты точки Жергонна

,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

  • вершина
  • вершина
  • вершина
Remove ads

Уравнения окружностей

Суммиров вкратце
Перспектива

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов[8]:

  • Вписанная окружность:
  • A-внешневписанная:
  • B-внешневписанная:
  • C-внешневписанная:
Remove ads

Другие свойства вписанной окружности

Суммиров вкратце
Перспектива

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности

  • ,  — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).
  • Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника[9].
  • Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника[10].
  • Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]

и площадь треугольника равна

  • Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
  • Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равно[1]
  • Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей[12]:
  • Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна[13].
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
Remove ads

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Суммиров вкратце
Перспектива

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике[10]:

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей[15][16][17]

  • Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[18]

Аналогично для второй формулы:

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

  • Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,


  • Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]

и[21]

  • Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то
  • Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника[18].
  • Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
  • Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности[10].
Thumb
Теорема Харкорта
  • Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
.
Remove ads

Другие свойства вневписанных окружностей

Суммиров вкратце
Перспектива
  • Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc[12]:
  • Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R[12].
  • Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,

где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей[10].

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
  • Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.
Remove ads

Окружность Аполлония

Суммиров вкратце
Перспектива

Определение окружности Аполлония

Thumb
Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[23].

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника[24].

Определение точки Аполлония Ap

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Remove ads

Изогональное сопряжение

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника[25].

Обобщение на другие многоугольники

См. также

Remove ads

Примечания

Литература

Ссылки

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads