Серединный треугольник

Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.

Красный треугольник является серединным треугольником для чёрного. Вершины красного треугольника лежат в серединах сторон чёрного.

Свойства

Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ при гомотетии с центром в центроиде с коэффициентом −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$. Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ и что его площадь равна четверти площади треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольника^[1]. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).

Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.

Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности. Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольника^[2].

Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)^[3].

Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольнике^[4]. Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса^[англ.] тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольника^[5]. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольника^[6]. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.

Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.^[7]

Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).^[8]

Координаты

Пусть ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|}$ — длины сторон треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:

• ${\displaystyle X=0:1/b:1/c}$
• ${\displaystyle Y=1/a:0:1/c}$
• ${\displaystyle Z=1/a:1/b:0}$

Антисерединный треугольник

Если ${\displaystyle \triangle XYZ}$ — серединный треугольник для ${\displaystyle \triangle ABC}$, то ${\displaystyle \triangle ABC}$ является антисерединным треугольником (антидополнительным) для ${\displaystyle \triangle XYZ}$. Антикомплементарный треугольник для ${\displaystyle \triangle ABC}$ образуется тремя прямыми, параллельными сторонам ${\displaystyle \triangle ABC}$ — параллельно ${\displaystyle AB}$ через точку ${\displaystyle C}$, параллельно ${\displaystyle AC}$ через точку ${\displaystyle B}$ и параллельно ${\displaystyle BC}$ через точку ${\displaystyle A}$.

Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника ${\displaystyle \triangle X'Y'Z'}$ задаются формулами:

• ${\displaystyle X'=-1/a:1/b:1/c}$
• ${\displaystyle Y'=1/a:-1/b:1/c}$
• ${\displaystyle Z'=1/a:1/b:-1/c}$