Остаточно конечная группа

Остаточно конечная или финитно аппроксимируемая группа — группа ${\displaystyle G}$ такая, что для любого элемента ${\displaystyle g\neq 1}$ найдётся гомоморфизм ${\displaystyle h\colon G\to F}$ в конечную группу ${\displaystyle F}$, удовлетворяющий условию ${\displaystyle h(g)\neq 1}$.

Примеры

• Любая конечная группа остаточно конечна;
• Любая свободная группа остаточно конечна;
• Любая конечно порождённая нильпотентная группа остаточно конечна;
• Фундаментальная группа 3-мерного многообразия остаточно конечна;
• Группа Баумслага — Солитера ${\displaystyle BS(m,n)}$ остаточно конечна тогда и только тогда когда ${\displaystyle |m|=1}$, ${\displaystyle |n|=1}$, или ${\displaystyle |m|=|n|}$^[1].

Свойства

• Теорема Мальцева.^[2] Всякая конечно порождённая подгруппа общей линейной группы является остаточно конечной.
• Подгруппа остаточно конечной группы является остаточно конечной.
• Прямое произведение остаточно конечных групп является остаточно конечным.
• Обратный предел остаточно конечных групп является остаточно конечным.
  • В частности, проконечные группы являются остаточно конечными.
• Любая конечно порожденная остаточно конечная группа является хопфовой, то есть не имеет собственных факторгрупп, изоморфных ей самой.