Параллельная кривая

Параллельная кривая или эквидистанта плоской кривой — огибающая семейства окружностей равного радиуса, центры которых лежат на заданной кривой. Понятие параллельной кривой — обобщение понятия параллельной прямой на случай плоских кривых.

Эллипс (красный), его эволюта (синий) и несколько параллельных кривых (зелёный). Обратите внимание, как изламываются параллельные кривые при встрече с эволютой.

Для параметрически заданной кривой параллельная кривая, проходящая на расстоянии ${\displaystyle a}$ от данной определяется уравнениями

${\displaystyle X=x+{\frac {ay'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$,

${\displaystyle Y=y-{\frac {ax'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}}$.

Или в векторной форме:

${\displaystyle {\vec {r}}=r(t)}$

${\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}+a{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\vec {r}}+{\frac {{\vec {r}}\,'}{|{\vec {r}}\,'|}}{\begin{pmatrix}0&a\\-a&0\end{pmatrix}}}$,

где матрица ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ соответствует повороту вектора на 90° по часовой стрелке.

Свойства

• Ориентированная кривизна ${\displaystyle k_{a}}$ параллельной кривой ${\displaystyle \gamma _{a}}$ выражается через кривизну ${\displaystyle k}$ исходной кривой ${\displaystyle \gamma }$ по формуле

  ${\displaystyle k_{a}={\frac {k}{|1-a\cdot k|}}.}$

См. также

• Эволюта
• Эвольвента
• Эквидистанта

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Параллельные кривые (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Эквидистанта и не только...

Литература

• Дингельдэй Ф. Сборникъ задачъ по приложенiю дифференцiальнаго и интегральнаго исчисленiй. — СПб: Тип. А. С. Суворина, 1912. — с. 65—66, 221—222.