Планковская угловая частота

В физике, планковская угловая частота это единица угловой частоты, обозначаемая как ${\displaystyle \omega _{\text{P}}}$, определённая в терминах фундаментальных констант в натуральных единицах, так же известных как планковские единицы.

Планковская угловая частота определяется как величина обратная планковскому времени^{[источник не указан 2944 дня]} ${\displaystyle t_{\text{P}}}$. С учётом этого для планковской угловой частоты выполняется^[1]:

${\displaystyle t_{\text{P}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\approx 5,39116(13)\cdot 10^{-44}}$ c,

${\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}\approx 1,85487\cdot 10^{43}}$ Гц,

где:

${\displaystyle c}$ — скорость света в вакууме,

${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Дирака (постоянная Планка, делённая на ${\displaystyle 2\pi }$),

${\displaystyle G}$ — гравитационная постоянная,

${\displaystyle t_{\text{P}}}$ — планковское время.

Некоторые свойства планковской угловой частоты

Колебания и волны

• Обычная частота, соответствующая планковской угловой частоте: ${\displaystyle f={\frac {\omega _{\text{P}}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi t_{\text{P}}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{4\pi ^{2}\hbar G}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{2\pi hG}}}={\sqrt {\frac {2\epsilon _{G}c^{5}}{h}}}=2{\sqrt {\frac {c}{\varkappa h}}}\approx }$ 2,95212 ⋅10⁴² Гц,

где ${\displaystyle \ h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle \epsilon _{G}={\frac {1}{4\pi G}}}$ — гравитационная электро-подобная константа^[2], ${\displaystyle \varkappa ={8\pi G \over c^{4}}}$ — гравитационная постоянная Эйнштейна^[3].

• Период, соответствующий планковской угловой частоте, равен ${\displaystyle 2\pi t_{\text{P}}}$, то есть планковскому времени, умноженному на ${\displaystyle 2\pi }$.
• Фаза:
  • Фаза колебаний, угловая частота которых равна планковской, изменяется на 1 рад за планковское время.
  • Фаза гармонического колебания с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой, выраженная в радианах, в момент времени t численно равна времени t, выраженному в планковских единицах.
  • Выраженная в радианах фаза в момент времени t в точке с координатой x распространяющейся со скоростью света в вакууме 1-мерной плоской гармонической волны с планковской угловой частотой и нулевой начальной фазой численно равна x-t, если x выражено в единицах l_P, а t в единицах t_P.
  • Изменение фазы гармонического колебания за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой частоте данного колебания, выраженной в единицах ω_P.

Вращение

• При равномерном вращении или движении по окружности изменение угла поворота за планковское время, выраженное в радианах, численно равно угловой скорости вращения, выраженной в единицах ω_P.
• При вращении или движении по окружности с угловой скоростью, равной планковской угловой частоте, угол поворота изменяется на 1 рад за планковское время.
• Угловая скорость точки, равномерно движущейся со скоростью света в вакууме по окружности радиусом l_P, равна ω_P.

Сигналы

• Из теоремы Котельникова вытекает следующее. Если аналоговый сигнал имеет конечный (ограниченный по ширине) спектр, причём угловая частота верхней границы спектра меньше или равна ${\displaystyle \omega _{\text{P}}}$ (то есть ${\displaystyle f_{c}\;\leq {\frac {\omega _{\text{P}}}{2\pi }}=2{\sqrt {\frac {c}{\varkappa h}}}}$^[4]), то такой сигнал может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам с частотой дискретизации, большей или равной ${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {2\epsilon _{G}c^{5}}{h}}}=4{\sqrt {\frac {c}{\varkappa h}}}\approx }$ 5,90424 ⋅10⁴² Гц.

Электромагнитные колебания

• Длина распространяющейся в вакууме ЭМ волны с планковской угловой частотой равна планковской длине, умноженной на ${\displaystyle 2\pi }$.
• Энергия кванта излучения такой частоты равна планковской энергии.
• Электрический градус переменного тока планковской угловой частоты равен планковскому времени, умноженному на ${\displaystyle 2\pi }$ и делённому на 360, то есть ${\displaystyle {\frac {2\pi t_{\text{P}}}{360}}}$ ≈ 9,40917⋅10⁻⁴⁶ с.

Зрение

• Монохроматический зелёный свет с частотой 540⋅10¹² Гц, о котором говорится в определении канделы, имеет угловую частоту 1,829195613 ⋅10^-28 ω_P.

Музыка

• Самый низкий звук, воспринимаемый человеческим ухом (16 Гц), имеет угловую частоту примерно 5,419839 ⋅10^-42 ω_P. Самый высокий (20000 Гц) — около 6,77480 ⋅10^-39 ω_P. Поэтому можно сказать, что человек слышит звуки в диапазоне угловых частот от 5,419839 ⋅10^-42 ω_P до 6,77480 ⋅10^-39 ω_P.
• Угловая частота эталонного тона «ля» 1-й октавы в 12-звуковом строе (440 Гц) примерно равна 1,49046 ⋅10^-40 ω_P. Соответственно, угловая частота произвольной ступени 12-РДО равна 1,49046 ⋅10^-40*${\displaystyle \cdot 2^{i/12}}$ ω_P, где i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону^[5]. В частности,
  • Угловая частота основного тона самой низкой ноты в диапазоне современного фортепиано (ля субконтроктавы, 27,5 Гц) — примерно 9,315348⋅10^-42 ω_P; самой высокой (до 5-й октавы, 4186,0 Гц^[5]) — около 1,417968 ⋅10^-39 ω_P.
  • Сама планковская угловая частота формально-математически соответствует примерно тону до-диез (или ре-бемоль) 134-й октавы (на 38,3556 цента ниже) 12-звукового равномерно темперированного строя.