Плоскость Кэли

Плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}}$. Была построена в 1933 году Рут Муфанг и названа в честь Артура Кэли.

Построение

Точки плоскости Кэли могут быть определены как пучки прямых в ${\displaystyle \mathbb {O} ^{2}}$. Это построение аналогично построению проективного пространства, но не обобщается на старшие размерности.

Свойства

• Плоскость Кэли допускает разложение на три клетки, размерностей 0, 8 и 16.
• Плоскось Кэли является симметрическим пространством ${\displaystyle F_{4}/\mathrm {Spin} (9)}$, где F₄ — одна из особых простых групп Ли и ${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$ — спинорная группа девятимерного евклидового пространства (она реализуется как подгруппа в ${\displaystyle F_{4}}$).
• Плоскость Кэли недезаргова.
  • В частности, из этого следует, что плоскость Кэли не вкладывается в проективное пространство.
• Для плоскости Кэли, существует вложение Веронезе ${\displaystyle \mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}\to \mathbb {S} ^{25}}$.^[1]
  • Это эквивариантное вложение, то есть действие ${\displaystyle F_{4}}$ на ${\displaystyle \mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}}$ продолжается до изометрического действия на ${\displaystyle \mathbb {S} ^{25}}$.
  • Образ вложения является минимальным подмногообразием.