Симметрическое пространство

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

• Евклидово пространство,
• сферы,
• Различные проективные пространства с естественной метрикой.
• Пространство Лобачевского
• Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной римановой метрикой.
• Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны ${\displaystyle -1}$) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.

Определение

Пусть ${\displaystyle M}$— связное Риманово многообразие и ${\displaystyle p}$ —точка в ${\displaystyle M}$.

Отображение ${\displaystyle s_{p}\colon M\to M}$ называется геодезической симметрией с центром в точке ${\displaystyle p}$, если

${\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}=-\exp _{p}.}$

Отображение ${\displaystyle s_{p}\colon U\to U}$, определённое на ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle p}$, называется локальной геодезической симметрией с центром в точке ${\displaystyle p}$, если

${\displaystyle s_{p}\circ \exp _{p}(v)=-\exp _{p}(v)}$

при ${\displaystyle |v|<\varepsilon }$.

Риманово многообразие ${\displaystyle M}$ называется  симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией ${\displaystyle M}$.

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то ${\displaystyle M}$ называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

• Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
  • Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
• Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

• Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.

• Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
  • В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.

• Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
  • В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством ${\displaystyle G/K}$, где ${\displaystyle G}$ — группа Ли и ${\displaystyle K}$ — её подгруппа.

• Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.

• Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
  • Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
  • Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным ${\displaystyle G/K}$, ниже дана классификация через ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle K}$, обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Обозначение	G	K	Размерность	Ранг	Геометрическое описание
AI	${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(n+2)/2}$	n − 1	Пространство всех вещественных структур на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ сохраняющих комплексный определитель
AII	${\displaystyle \mathrm {SU} (2n)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle (n-1)(2n+1)}$	n − 1	Пространство кватернионных структур на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n}}$ с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII	${\displaystyle \mathrm {SU} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {S} (\mathrm {U} (p)\times \mathrm {U} (q))}$	${\displaystyle 2pq}$	min(p,q)	Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p+q}}$
BDI	${\displaystyle \mathrm {SO} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (p)\times \mathrm {SO} (q)}$	${\displaystyle pq}$	min(p,q)	Грассманиан ориентированных p-мерных ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$
DIII	${\displaystyle \mathrm {SO} (2n)}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle n(n-1)}$	[n/2]	Пространство ортогональных комплексных структур на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$
CI	${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$	${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$	${\displaystyle n(n+1)}$	n	Пространство комплексных структур на ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ сохраняющих скалярное произведение
CII	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p+q)}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (p)\times \mathrm {Sp} (q)}$	${\displaystyle 4pq}$	min(p,q)	Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в ${\displaystyle \mathbb {H} ^{p+q}}$
EI	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (4)/\{\pm I\}}$	42	6
EII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (6)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	40	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ исометричных ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {H} )P^{2}}$
EIII	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (10)\cdot \mathrm {SO} (2)}$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Келли ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
EIV	${\displaystyle E_{6}}$	${\displaystyle F_{4}}$	26	2	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изометричных ${\displaystyle \mathbb {OP} ^{2}}$
EV	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \mathrm {SU} (8)/\{\pm I\}}$	70	7
EVI	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (12)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	64	4
EVII	${\displaystyle E_{7}}$	${\displaystyle E_{6}\cdot \mathrm {SO} (2)}$	54	3	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle (\mathbb {C} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
EVIII	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (16)/\{\pm vol\}}$	128	8
EIX	${\displaystyle E_{8}}$	${\displaystyle E_{7}\cdot \mathrm {SU} (2)}$	112	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle (\mathbb {O} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle (\mathbb {H} \otimes \mathbb {O} )P^{2}}$
FI	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \mathrm {Sp} (3)\cdot \mathrm {SU} (2)}$	28	4	Пространство симметрических подпространств в ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$ изоморфных ${\displaystyle \mathbb {H} P^{2}}$
FII	${\displaystyle F_{4}}$	${\displaystyle \mathrm {Spin} (9)}$	16	1	плоскость Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$
G	${\displaystyle G_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {SO} (4)}$	8	2	Пространство подалгебр алгебры Кэли ${\displaystyle \mathbb {O} }$ изоморфные алгебре Кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} }$

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства ${\displaystyle G/K}$, где ${\displaystyle G}$ группа Ли и

${\displaystyle K=\{g\in G:\sigma (g)=g\}}$

для некоторой инволюции ${\displaystyle \sigma \colon G\to G}$.

• Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция ${\displaystyle \sigma \colon G\to G}$ группы изометрий ${\displaystyle G}$ пространства определяется как

  ${\displaystyle \sigma \colon h\mapsto s_{p}\circ h\circ s_{p}}$

  • Обратное верно, если ${\displaystyle K}$ компактна.

Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности

• Пространство Минковского
• пространство де Ситтера
• Пространство анти-де Ситтера

Слабо симметрическое пространство

В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle M}$ и касательного вектора ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle p}$, есть изометрия ${\displaystyle i}$, зависящая от ${\displaystyle v}$ в ${\displaystyle p}$, такая, что

• ${\displaystyle i}$ фиксирует ${\displaystyle p}$;
• ${\displaystyle di(v)=-v}$.

Если ${\displaystyle i}$ можно выбрать независимо от ${\displaystyle v}$, то пространство является симметрическим.

Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли^[1].

Сферическое пространство

Компактное однородное пространство ${\displaystyle G/K}$ называется сферическим, если любое неприводимое представление группы ${\displaystyle G}$ имеет не более одного ${\displaystyle K-}$инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.^[2][3][4][5]

Эрмитово симметрическое пространство

Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется эрмитовым симметрическим пространством.