Подерная система координат

Обзорная статья: Подера

Поде́рная систе́ма координа́т — система координат, основанная на подерном преобразовании. Подерные координаты точки дифференцируемой кривой состоят из двух величин, двух расстояний от некоторой заданной точки (полюса): до точки кривой и до соответствующей точки её подеры^[1][2].

Традиционные системы координат, такие, как декартова и полярная, суть точечные понятия. В этих системах для любой точки плоскости один и только один набор координат с традиционными обозначениями ${\displaystyle (x,\;y)}$ для декартовой и ${\displaystyle (r,\;\varphi )}$ для полярной системы. В противоположность этому подерные координаты зависят от конкретных кривых, и произвольная точка плоскости имеет много разных подерных координат ${\displaystyle (r,\;p)}$, которые зависят от выбранной кривой и полюса^[1].

Определение подерных координат

Поде́рные координа́ты данной точки плоскости относительно произвольной фиксированной точки и дифференцируемой кривой, проходящей через данную точку, — расстояние ${\displaystyle r}$ от фиксированной точки до данной точки и расстояние ${\displaystyle p}$ от фиксированной точки до касательной к кривой в данной точке. Другими словами, подерные координаты точки кривой состоят из двух величин, двух расстояний от фиксированной точки: ${\displaystyle r}$ до точки кривой и ${\displaystyle p}$ до соответствующей точки её подеры^[3].

Фиксированная точка из определения подерных координат называется началом координат, или подерной точкой, или полюсом подерной системы счисления, расстояние ${\displaystyle r}$ от начала координат до точки на кривой называется радиальным расстоянием точки кривой, а расстояние ${\displaystyle p}$ от начала координат до касательной прямой — перпендикулярным расстоянием точки кривой^[3].

Если, например, взять другую кривую, проходящую через данную точку, оставив начало координат на месте, то в этом случае значение радиального расстояния ${\displaystyle r}$ останется прежним, но перпендикулярное расстояние ${\displaystyle p}$ может быть другим. Кроме того, изолированная точка кривой не имеет второй координаты ${\displaystyle p}$, а точка самопересечения имеет две разные координаты ${\displaystyle p}$^[4].

Пропорциональность подерных координат

Имеет место следующее утверждение о пропорциональности подерных координат:

Подера и вторая подера

радиальные и перпендикулярные расстояния кривой ${\displaystyle C}$ и её подеры ${\displaystyle C_{P}}$ относительно полюса ${\displaystyle O}$ пропорциональны, то есть

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {p_{2}}{p}},}$ или ${\displaystyle p^{2}=rp_{2},}$

или ${\displaystyle p_{2}={\frac {p^{2}}{r}}=\left({\frac {p}{r}}\right)^{2}r,}$

где:

${\displaystyle r}$ — радиальное расстояние текущей точки ${\displaystyle R}$ исходной кривой от полюса ${\displaystyle O;}$

${\displaystyle p}$ — перпендикулярные расстояние точки исходной кривой ${\displaystyle R}$ от полюса ${\displaystyle O,}$ оно же радиальное расстояние соответствующей точки первой подеры ${\displaystyle P}$ от полюса ${\displaystyle O;}$

${\displaystyle p_{2}}$ — перпендикулярное расстояние соответствующей точки первой подеры ${\displaystyle P}$ от полюса ${\displaystyle O,}$ оно же радиальное расстояние соответствующей точки второй подеры ${\displaystyle P_{2}}$ от полюса ${\displaystyle O}$, как показано на рисунке справа^[5][6].

Доказательство^[7]

Комплексное уравнение подеры относительно полюса ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}=(0,\;i0)}$ в её текущей точке ${\displaystyle P}$ имеет вид

${\displaystyle p(t)={\frac {z(t){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}.}$

Дифференцируя это уравнение, получим касательную подеры в этой точке:

${\displaystyle p'(t)={\frac {z(t){\overline {z''(t)}}-{\overline {z(t)}}z''(t)}{2{\overline {z'(t)}}}}-{\frac {z(t){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)}}z'(t)}{2{\overline {z'(t)}}^{2}}}{\overline {z''(t)}},}$

${\displaystyle p'(t)={\frac {z'(t){\overline {z''(t)}}-{\overline {z'(t)}}z''(t)}{2{\overline {z'(t)}}^{2}}}{\overline {z(t)}}.}$

Разделим обе части этого уравнения на ${\displaystyle p(t),}$ получим:

${\displaystyle {\frac {p'(t)}{p(t)}}={\frac {z'(t){\overline {z''(t)}}-{\overline {z'(t)}}z''(t)}{2{\overline {z'(t)}}^{2}p(t)}}{\overline {z(t)}},}$

${\displaystyle {\frac {p'(t)}{p(t)}}={\frac {z'(t){\overline {z''(t)}}-{\overline {z'(t)}}z''(t)}{z(t){\overline {z'(t)}}-{\overline {z(t)}}z'(t)}}{\frac {\overline {z(t)}}{\overline {z'(t)}}}.}$

Поскольку выражение для любых двух комплексных чисел ${\displaystyle z_{1}=a_{1}+b_{1}i}$ и ${\displaystyle z_{2}=a_{2}+b_{2}i}$

${\displaystyle z_{1}{\bar {z}}_{2}-{\bar {z}}_{1}z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}-b_{2}i)-(a_{1}-b_{1}i)(a_{2}-b_{2}i)=}$

${\displaystyle {}=b_{1}a_{2}i-a_{1}b_{2}i+b_{1}a_{2}i-a_{1}b_{2}i=2(b_{1}a_{2}-a_{1}b_{2})i}$

есть чисто мнимое число, то первый множитель правой части этого уравнения есть вещественное число,

Поэтому аргументы комплексных чисел

${\displaystyle \operatorname {Arg} {\frac {p'(t)}{p(t)}}=\operatorname {Arg} {\frac {\overline {z(t)}}{\overline {z'(t)}}}=\operatorname {Arg} {\frac {z'(t)}{z(t)}}.}$

Следовательно, равны следующие два угла:

• угол между отрезком ${\displaystyle OR}$ и касательной ${\displaystyle RP}$ к исходной кривой ${\displaystyle C}$ в точке ${\displaystyle R;}$
• угол между отрезком ${\displaystyle OP}$ и касательной ${\displaystyle PP_{2}}$ к подере ${\displaystyle C_{P}}$ в точке ${\displaystyle P.}$

Отсюда следует, что подобны два прямоугольных треугольника ${\displaystyle \triangle ORP}$ и ${\displaystyle \triangle OPP_{2},}$ так как у них равны острые углы ${\displaystyle \angle ORP}$ и ${\displaystyle \angle OPP_{2}.}$

Другими словами,

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {p_{2}}{p}}.}$

Для третьей подеры получаем следующее радиальное расстояние^[6]:

${\displaystyle p_{3}=\left({\frac {p_{2}}{p}}\right)^{2}p=\left({\frac {p^{2}}{rp}}\right)^{2}p=\left({\frac {p}{r}}\right)^{3}r,}$

и аналогично для ${\displaystyle n}$-й подеры имеем общую формулу радиального расстояния

${\displaystyle p_{n}=\left({\frac {p}{r}}\right)^{n}r.}$

Для антиподеры ${\displaystyle p_{-1}}$ изменим в пропорции обозначения^[6]:

${\displaystyle {\frac {r}{p_{-1}}}={\frac {p}{r}},}$

откуда

${\displaystyle p_{-1}={\frac {r^{2}}{p}}=\left({\frac {p}{r}}\right)^{-1}r,}$

для второй антиподеры

${\displaystyle p_{-2}=\left({\frac {p_{-1}^{2}}{r}}\right)=\left({\frac {r^{3}}{p^{2}}}\right)=\left({\frac {p}{r}}\right)^{-2}r,}$

и аналогично для ${\displaystyle n}$-й антиподеры имеем общую формулу радиального расстояния

${\displaystyle p_{-n}=\left({\frac {p}{r}}\right)^{-n}r.}$

Также

${\displaystyle p_{-n}=\left({\frac {r}{p_{-1}}}\right)^{-n}r,\quad }$ ${\displaystyle p_{n}=\left({\frac {r}{p_{-1}}}\right)^{n}r.}$

Примеры подерных уравнений кривых

В этом разделе собраны примеры подерных уравнений кривых, то есть уравнений в подерной системе координат. Параметр ${\displaystyle a}$ задаёт размеры кривой^[8]:

• Астроида

Полюс подерных координат: центр астроиды.

Параметр ${\displaystyle a}$: радиус окружности, в которую вписана астроида.

Подерное уравнение:

${\displaystyle r^{2}+3p^{2}=a^{2}.}$

• Лемниската Бернулли

Полюс подерных координат: центр лемнискаты.

Параметр ${\displaystyle a}$: радиус окружности, в которую вписана лемниската.

Подерное уравнение:

${\displaystyle pa^{2}=r^{3}.}$

• Окружность

Полюс подерных координат: центр окружности.

Параметр ${\displaystyle a}$: радиус окружности.

Подерное уравнение:

${\displaystyle pa=r^{2}.}$

• Парабола

Полюс подерных координат: фокус параболы.

Параметр ${\displaystyle a}$: расстояние от фокуса до вершины параболы.

Подерное уравнение:

${\displaystyle p^{2}=ar.}$

• Эллипс

Полюс подерных координат: фокус эллипса.

Параметры ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$: большая и малая полуоси эллипса.

Подерное уравнение:

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{p^{2}}}={\frac {2a}{r}}-1.}$