Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — плоская алгебраическая кривая. Определяется как геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската Бернулли с фокальными точками, построенная через параметрическое представление в GNU Octave

Лемниската по форме напоминает арабскую цифру «восемь» или символ бесконечности. Точка, в которой лемниската пересекает саму себя, называется узловой, или двойной.

История

Название происходит от др.-греч. λημνίσκος — лента, повязка. В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Данный вид лемнискаты назван в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнение лемнискаты впервые опубликовано в статье Curvatura Laminae Elasticae Якоба Бернулли в журнале Acta eruditorum в 1694 году. Бернулли назвал эту кривую lemniscus; он не знал, что четырнадцатью годами ранее Джованни Кассини уже исследовал более общий случай^[1]. Квадратуру лемнискаты впервые выполнил Джюлио-Карло Фаньяно^[англ.], опубликовав в 1718 году статью Metodo per misurare la lemniscata и положив тем самым начало изучению эллиптических интегралов, продолженное впоследствии Леонардом Эйлером^[2]. Некоторые свойства кривой были также исследованы Якобом Штейнером в 1835 году.

Уравнения

Рассмотрим простейший случай: если расстояние между фокусами равняется ${\displaystyle 2c}$, расположены они на оси ${\displaystyle OX}$, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• параметрическое в прямоугольных координатах:

  ${\displaystyle x={\frac {c{\sqrt {2}}\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};\qquad y={\frac {c{\sqrt {2}}\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};}$

• в прямоугольных координатах:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2});}$

• в подерных координатах^[3]:

${\displaystyle pa^{2}=r^{3}.}$

Вывод

Фокусы лемнискаты — ${\displaystyle F_{1}(-c;0)}$ и ${\displaystyle F_{2}(c;0)}$. Возьмём произвольную точку ${\displaystyle M(x;y)}$. Произведение расстояний от фокусов до точки ${\displaystyle M}$ есть

${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}}$,

и по определению оно равно ${\displaystyle c^{2}}$:

${\displaystyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}}$

Возводим в квадрат обе части равенства:

${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}}$

Раскрываем скобки в левой части:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}}$

Раскрываем скобки и свёртываем новый квадрат суммы:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0}$

Выносим общий множитель и переносим:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Далее можно сделать замену ${\displaystyle a^{2}=2c^{2}}$, хотя это не обязательно:

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}$

В данном случае ${\displaystyle a}$ — радиус окружности, описывающей лемнискату.

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$

Вывод

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Возводим в квадрат и раскрываем скобки:

${\displaystyle \textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}}$

Приводим к виду

${\displaystyle \textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0}$

Это квадратное уравнение относительно ${\displaystyle y^{2}}$. Решив его, получим

${\displaystyle \textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}}$

Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:

${\displaystyle \textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}}$

где положительный вариант определяет верхнюю половину лемнискаты, отрицательный — нижнюю.

• в полярных координатах:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .}$

Вывод

${\displaystyle \textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})}$

Используя формулы перехода к полярной системе координат ${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,}$ получим:

${\displaystyle {\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}}$

Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )}$

Делим на ${\displaystyle \rho ^{2}}$, предполагая, что ${\displaystyle \rho \neq 0}$ и используем ещё одно тождество: ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha }$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi }$

Как и в случае прямоугольной системы можно заменить ${\displaystyle a^{2}=2c^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi }$

Плотность точек кривой при равномерном изменении параметра

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

${\displaystyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}}$, где ${\displaystyle p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}}$

Это единственный вариант рациональной параметризации кривой. Уравнение полностью описывает кривую, когда параметр пробегает всю вещественную прямую: от ${\displaystyle -\infty }$ до ${\displaystyle +\infty }$. При этом, когда параметр стремится к ${\displaystyle -\infty }$, точка кривой стремится к ${\displaystyle (0;0)}$ из второй координатной четверти, а когда параметр стремится к ${\displaystyle +\infty }$, то — из четвёртой. Распределение точек, которые даёт параметрическое уравнение, при изменении его параметра с фиксированным шагом показано на рисунке.

Вывод уравнения

Уравнение лемнискаты в полярной системе

${\displaystyle \textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi }$

подставим в формулы перехода к полярной системе координат ${\displaystyle x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,}$ возведённые в квадрат:

${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \cos ^{2}\varphi \\y^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi \sin ^{2}\varphi \end{cases}}}$

Используем тригонометрические формулы ${\displaystyle \textstyle \cos 2\alpha ={\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }},\textstyle \cos ^{2}\alpha ={\dfrac {1}{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$ и ${\displaystyle \textstyle \sin ^{2}\alpha ={\dfrac {\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}$:

${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\operatorname {tg} ^{2}\varphi }{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} ^{2}\varphi \left(1-\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\varphi \right)^{2}}}\end{cases}}}$

Используем ещё одно легко выводимое тригонометрическое соотношение ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)}}}$:

${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {1-\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\left(1-\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)}{\left(1+\left({\dfrac {1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}{1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\right)^{2}\right)^{2}}}\end{cases}}}$

Выполнив необходимые преобразования, получаем:

${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}x^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\\y^{2}=2c^{2}{\dfrac {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\left(1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}{\left(1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right)^{2}}}\end{cases}}}$

Извлекаем корень из обеих частей обоих равенств:

${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1+\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\\y=c{\sqrt {2}}{\dfrac {\left(1-\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)\right){\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)}}\end{cases}}}$

Если произвести замену ${\displaystyle \textstyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}-\varphi \right)=p^{2}}$, то получаем искомые параметрические уравнения:

${\displaystyle \textstyle {\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}}$

• Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и воздействовать на представленные уравнения этим преобразованием.

Пример

Пусть, например, ${\displaystyle F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)}$ — фокусы.

Существует прямоугольная система координат (на рисунке — ${\displaystyle \textstyle x''Oy''}$), в которой уравнение лемнискаты имеет вид

${\displaystyle \textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0}$

Необходимо определить преобразование системы координат, переводящее ${\displaystyle \textstyle xOy}$ в ${\displaystyle \textstyle x''Oy''}$. Это преобразование осуществляется в два этапа: параллельный перенос и поворот.

Середина отрезка ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ — ${\displaystyle \textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)}$, значит перенос только на ${\displaystyle \textstyle +{\frac {1}{2}}}$ по оси ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle {\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}}$

После переноса системы координат её надо повернуть на некоторый угол. Для определения угла сначала найдём расстояние между фокусами:

${\displaystyle 2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5}$

значит ${\displaystyle c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}}$.

Теперь из геометрических соображений находим синус и косинус угла наклона ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ к ${\displaystyle OX}$:

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })}$

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}}$

Формулы преобразования:

${\displaystyle {\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}}$

Совместив оба преобразования, получим конечные формулы перехода:

${\displaystyle {\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}}$

Для того, чтобы получить уравнение в стандартной системе координат, подставим эти соотношения в исходное уравнение кривой:

${\displaystyle \textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0}$

После преобразований:

${\displaystyle x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0}$

Это уравнение задаёт лемнискату с фокусами ${\displaystyle F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)}$ в стандартной прямоугольной системе координат.

Свойства

Некоторые свойства лемнискаты:
1. Симметрия относительно узловой точки;
2. Касательные в узловой точке имеют углы ${\displaystyle \textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}}$;
3. Для любой точки ${\displaystyle A}$ лемнискаты выполняется: ${\displaystyle AP=PO}$, где ${\displaystyle AP}$ — биссектриса ${\displaystyle \angle F_{1}AF_{2}}$;
4. ${\displaystyle \textstyle \mu =2\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$ для любой точки кривой;

Лемниската Бернулли является частным случаем овала Кассини при ${\displaystyle a=c}$, синусоидальной спирали с индексом ${\displaystyle n=2}$ и лемнискаты Бута при ${\displaystyle c=0}$, поэтому она наследует некоторые свойства этих кривых.

Свойства, верные для произвольных овалов Кассини

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно двойной точки — середины отрезка между фокусами.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты:

  ${\displaystyle {\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}}$

• Расстояние от максимума до минимума, находящихся по одну сторону от серединного перпендикуляра отрезка между фокусами равно расстоянию от максимума (или от минимума) до двойной точки.
• Лемнискату описывает окружность радиуса ${\displaystyle a=c{\sqrt {2}}}$, поэтому иногда в уравнениях производят эту замену.

Свойства, верные для произвольных синусоидальных спиралей

• Касательные в двойной точке составляют с отрезком ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$ углы ${\displaystyle \textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}}$.
• Угол ${\displaystyle \mu }$, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен ${\displaystyle \textstyle 2\varphi +{\frac {\pi }{2}}}$.
• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу.
• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу.
• Радиус кривизны лемнискаты есть ${\displaystyle \textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}}$

Вывод

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали: ${\displaystyle R={\frac {\rho }{(m+1)\cos m\varphi }}}$ при ${\displaystyle m=2,}$ однако, легко вывести и по определению. Уравнение лемнискаты в полярной системе: ${\displaystyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }}$ Формулы перехода к полярной системе координат: ${\displaystyle {\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}}$ Выражаем ${\displaystyle \textstyle \rho }$: ${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}}$ Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$: ${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}}$ —- это параметрическое уравнение относительно ${\displaystyle \varphi }$. Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно ${\displaystyle \textstyle p}$, указанное выше в разделе Уравнения. Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически: ${\displaystyle R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}}}$ Находим производные по ${\displaystyle \varphi }$: ${\displaystyle x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$ ${\displaystyle x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}}$ ${\displaystyle y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}$ ${\displaystyle y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}}$ Подставляем в формулу радиуса: ${\displaystyle R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}}$ Возвращаемся к уравнению лемнискаты: ${\displaystyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}}$ Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем: ${\displaystyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}}$

• Натуральное уравнение кривой имеет вид

  ${\displaystyle S=3\int {\frac {\mathrm {d} R}{\sqrt {\left({\frac {3}{c}}R\right)^{4}-1}}}}$

• Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

  ${\displaystyle \textstyle \rho ^{\frac {2}{3}}=(c{\sqrt {2}})^{\frac {2}{3}}\cos {\frac {2}{3}}\varphi .}$

• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства

Таутохронность лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных центру равносторонней гиперболы относительно её касательных.
• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиусами-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой.
• Материальная точка, движущаяся по лемнискате под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду (см. рисунок). Предполагается, что ось лемнискаты составляет угол ${\displaystyle 45^{\circ }}$ с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки.
• Площадь полярного сектора ${\displaystyle \varphi \in [0,\alpha ]}$, при ${\displaystyle \textstyle 0\leqslant \alpha \leqslant {\frac {\pi }{4}}}$:

  ${\displaystyle \textstyle S(\alpha )={\frac {c^{2}}{2}}\sin 2\alpha }$

  • В частности, площадь каждой петли ${\displaystyle \textstyle 2S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}}$, то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата с диагональю ${\displaystyle c{\sqrt {2}}}$.
• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам.
• Длина дуги лемнискаты между точками ${\displaystyle \varphi _{1}=0}$ и ${\displaystyle \varphi _{2}=\varphi }$ выражается эллиптическим интегралом I рода:

  ${\displaystyle \displaystyle \textstyle L(\varphi )=c\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {1-2\sin ^{2}\varphi }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}F\left(\theta ,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right),}$ где ${\displaystyle 2\sin ^{2}\varphi =\sin ^{2}\theta .}$

  • В частности, длина всей лемнискаты

    ${\displaystyle \textstyle 4L\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2c{\sqrt {2}}\,K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\approx 5{,}244a\approx 7{,}416c.}$

Построения

При помощи секущих (способ Маклорена)

Строится окружность радиуса ${\displaystyle \textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}}$ с центром в одном из фокусов. Из середины ${\displaystyle O}$ фокусного отрезка строится произвольная секущая ${\displaystyle OPS}$ (${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle S}$ — точки пересечения с окружностью), и на ней в обе стороны откладываются отрезки ${\displaystyle OM_{1}}$ и ${\displaystyle OM_{2}}$, равные хорде ${\displaystyle PS}$. Точки ${\displaystyle M_{1}}$, ${\displaystyle M_{2}}$ лежат на разных петлях лемнискаты.

Шарнирные методы

Вариант первый

На плоскости выбираются две точки — ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — будущие фокусы лемнискаты. Собирается специальная конструкция из трёх скреплённых в ряд на шарнирах отрезков, чтобы полученная линия могла свободно изгибаться в двух местах (точки сгиба — ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$). При этом необходимо соблюсти пропорции отрезков: ${\displaystyle \textstyle AC=BD={\frac {AB}{\sqrt {2}}},\;CD=AB}$. Края линии крепятся к фокусам. При непараллельном вращении отрезков вокруг фокусов середина центрального отрезка опишет лемнискату Бернулли.

Вариант второй

В этом варианте лемниската строится по фокусу и двойной точке — ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle O}$ соответственно. Собирается почти такая же шарнирная конструкция как и в предыдущем варианте, но прикреплённый к двойной точке отрезок ${\displaystyle OC}$ соединяется не с концом центрального ${\displaystyle BD}$, а с его серединой. Пропорции также другие: ${\displaystyle \textstyle BC=CD=OC={\frac {AO}{\sqrt {2}}},\;AB=AO}$.

• 
  Построение лемнискаты при помощи секущих
• 
  Шарнирный метод
• 
  Механизм Ватта (анимация)
• 
  Другой вариант шарнирного метода

При помощи сплайна NURBS

Пример построения лемнискаты Бернулли с помощью сплайна NURBS.
Синяя линия — контрольная ломаная сплайна. Зелёные кружки — контрольные точки сплайна. Размер кружков пропорционален весу контрольной точки. Зелёные числа рядом с контрольными точками — порядковые номера точек в контрольной ломаной.

Лемнискату Бернулли можно построить посредством сплайнов NURBS разными способами. Один из возможных способов представлен на рисунке. Параметры контрольных точек сплайна приведены в таблице:

№	${\displaystyle {\frac {x{\sqrt {2}}}{c}}}$	${\displaystyle {\frac {y{\sqrt {2}}}{c}}}$	${\displaystyle weight}$
1	2	0	2
2	2	1	1
3	0	1	1
4	0	−1	1
5	−2	−1	1
6	−2	0	2
7	−2	1	1
8	0	1	1
9	0	−1	1
10	2	−1	1
11	2	0	2

Узловой вектор {−1, −1, −1, −1, −1, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3}. Такое представление NURBS кривой полностью совпадает с рациональным параметрическим преставлением в прямоугольной системе координат в диапазоне изменения параметра p в интервале: ${\displaystyle -1\leq p\leq 1}$.

Обобщения

• Лемниската — общий случай с несколькими фокусами
• Овал Кассини — обобщение на произведение расстояний до фокусов
• Синусоидальная спираль — обобщение по виду параметрического уравнения (лемниската Бернулли получается при ${\displaystyle n=2}$)

См. также

• Лемниската Бута
• Лемниската Жероно
• Плоская кривая
• Алгебраическая кривая
• Бесконечность
• Аттрактор Лоренца