Полукруговой закон Вигнера

Полукруговой закон (или распределение) Вигнера — названное в честь физика Юджина Вигнера абсолютно непрерывное распределение вероятностей на прямой, график плотности которого получается после нормировки из полукруга, построенном на отрезке [-R,R] как на диаметре (тем самым, на самом деле график плотности оказывается полуэллипсом):

${\displaystyle \rho (x)={\frac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}},}$

Полукруговое распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	${\displaystyle R>0}$ радиус (вещественное положительное число)
Носитель	${\displaystyle x\in [-R;+R]}$
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}}$ для ${\displaystyle -R\leq x\leq R}$
Математическое ожидание	${\displaystyle 0}$
Медиана	${\displaystyle 0}$
Мода	${\displaystyle 0}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {R^{2}}{4}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 0}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle -1}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle 2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$
Характеристическая функция	${\displaystyle 2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}}$

если ${\displaystyle x\in [-R,R]}$, и ${\displaystyle \rho (x)=0}$ иначе.

Это распределение было предложено Вигнером в 1955 году в связи с его исследованиями в области квантовой механики, как предельное распределение собственных значений для случайной эрмитовой матрицы большого размера.

Литература

• Weisstein, Eric W. Wigner's Semicircle Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wigner Е. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. Ann. of Math., 62 (1955), 548-564.
• Wigner E. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices. Ann. of Math., 67 (1958), 325-328.
• Синай Я. Г., Сошников А. Б. Уточнение полукругового закона Вигнера в окрестности края спектра для случайных симметричных матриц. Функциональный анализ и его приложения, 1998. — Том 32. Выпуск 2. — С. 56—79.