Полупараметрическая модель

В статистике полупараметрическая модель — статистическая модель, содержащая параметрические и непараметрические составляющие.

Статистическая модель — это параметрическое семейство распределений: ${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$, с параметром ${\displaystyle \theta }$ в индексе.

• Параметрическая модель — это модель, где параметр ${\displaystyle \theta }$ является ${\displaystyle k}$-мерным вектором в ${\displaystyle k}$-мерном Евклидовом пространстве^[1]. Таким образом, ${\displaystyle \theta }$ конечномерный вектор и ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$.
• В случае непараметрической модели множество возможных значений параметра ${\displaystyle \theta }$ является подмножеством некоторого пространства ${\displaystyle V}$, которое необязательно конечномерное. Например, множество всех распределений со средним ${\displaystyle 0}$. Такие пространства являются топологическими векторными пространствами, но не обязательно конечномерны как векторные пространства. Таким образом, ${\displaystyle \Theta \subseteq V}$ для некоторого возможно бесконечномерного пространства ${\displaystyle V}$.
• В случае полупараметрической модели, параметр имеет и конечномерную, и бесконечномерную составляющую (зачастую вещественнозначная функция, определённая на вещественной оси). Соответственно, ${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V}$, где ${\displaystyle V}$ — бесконечномерное пространство.

Хоть полупараметрические модели имеют бесконечномерную составляющую, множество полупараметрических моделей не включает в себя множество непараметрических моделей. Множество полупараметрических моделей считается "меньшим", чем множество непараметрических моделей, поскольку зачастую интерес представляет только конечномерная компонента ${\displaystyle \theta }$. Бесконечномерная компонента рассматривается как мешающий параметр^[2]. В непараметрических моделях основной интерес представляет бесконечномерный параметр, поэтому задача оценки в непараметрических моделях статистически сложнее (обладает большей статистической сложностью).

Такие модели часто используют сглаживание^[англ.] или ядра.

Пример

Модель пропорциональных рисков^[англ.] Кокса^[3] — известный пример полупараметрической модели. Если нас интересует время ${\displaystyle T}$ до такого события, как смерть от рака или отказ лампыы, модель Кокса предлагает следующую функцию распределения ${\displaystyle T}$:

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right)}$,

где ${\displaystyle x}$ — вектор ковариат (независимых переменных), а ${\displaystyle \beta }$ и ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ — неизвестные параметры. ${\displaystyle \theta =(\beta ,\lambda _{0}(u))}$. Обычно интерес представляет конечномерная ${\displaystyle \beta }$, а ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ — неизвестная неотрицательная функция времени (базовая функция риска), часто является мешающим параметром. Множество возможных вариантов ${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$ бесконечномерное.

См. также

• Полупараметрическая регрессия^[англ.]
• Статистическое моделирование
• Обобщённый метод моментов