Луч (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Луч.

Не следует путать с числовым лучом и радиусом.

Полупряма́я^{[комм 1]}, или открытый луч, — множество всех точек прямой, которые находятся по одну сторону с некоторой точкой на этой прямой^[1][2], другими словами, полупрямая — одна из двух частей прямой, на которые делится прямая её произвольной точкой^[3]. Эта точка определяет полупрямую^[4] и является границей полупрямой^[1][2].

Луч ${\displaystyle k}$, он же ${\displaystyle AB}$

В устаревшей трактовке граница полупрямой ей принадлежала, понятия «полупрямая» и «луч» совпадали^[5].

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей^[1][3][2]. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча^[6][7][8]. Луч выходит из этой точки^[6]. Конец у луча (полупрямой) отсутствует^[7].

Как правило, луч (полупрямую) обозначают какой-нибудь строчной латинской буквой, например ${\displaystyle k}$, или двумя прописными латинскими буквами, первая из которых — начало луча, а вторая — произвольная точка на полупрямой, например ${\displaystyle AB}$^[6].

Точка ${\displaystyle x+a}$ на луче

Для любого неотрицательного числа a на заданном луче с началом X существует единственная точка A, находящаяся на расстоянии a от точки X.

Полупрямая и луч — два вида бесконечных промежутков числовой прямой^[9].

Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году^[10].

Определение полупрямой и луча

Полупрямая^{[комм 1]} — множество всех точек ${\displaystyle M}$ прямой, которые находятся по ту же сторону от некоторой точки ${\displaystyle P}$ на этой прямой, что и некоторая заданная точка ${\displaystyle A}$, отличная от точки ${\displaystyle P}$, то есть полупрямая — это точка ${\displaystyle A}$ и множество всех точек ${\displaystyle M}$, отличных от ${\displaystyle P}$ и таких, что ${\displaystyle P}$ не лежит между ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle M}$^[11]. Точка ${\displaystyle P}$ определяет полупрямую^[4] и является границей полупрямой^[1][2].

Луч, или замкнутый луч, или замкнутая полупрямая, — полупрямая со своей границей^[1][3][2]. Эта точка, граница замкнутой полупрямой, называется также началом луча^[6][7]. Луч выходит из этой точки^[6]. Конец у луча (полупрямой) отсутствует^[7].

Теорема 1. Произвольная точка ${\displaystyle P}$ на прямой делит эту прямую на две полупрямых (на два луча). Более формально: на прямой существуют точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, отличные от точки ${\displaystyle P}$ такие, что разные полупрямые (разные лучи), которым принадлежат эти точки, заполняют с точкой ${\displaystyle P}$ (просто заполняют) всю прямую и имеют своими границами точку ${\displaystyle P}$ (имеют единственную общую точку ${\displaystyle P}$)^[11].

Дополнительные лучи (дополнительные полупрямые) — лучи (полупрямые) на одной прямой, разделённые общим началом (общей границей) ${\displaystyle P}$: луч, дополнительный к лучу ${\displaystyle k}$, обозначается ${\displaystyle {\bar {k}}}$^[8].

Теорема 2. Две точки ${\displaystyle A\neq P}$ и ${\displaystyle B\neq P}$ на одной прямой лежат на одном и том же луче (на одной и той же полупрямой) с началом ${\displaystyle P}$ (с границей ${\displaystyle P}$) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P}$ не принадлежит интервалу ${\displaystyle (AB)}$, ${\displaystyle P\notin (AB)}$, и лежат на дополнительных лучах (на полупрямых), когда ${\displaystyle P\in (AB)}$^[8].

Строгую терминологию для понятий прямой, луча и отрезка установил Якоб Штейнер в 1833 году^[10].

Сонаправленные полупрямые и лучи

Лучи ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle BC}$ сонаправлены, ${\displaystyle AC\upuparrows BC}$. Лучи ${\displaystyle BA}$ и ${\displaystyle BC}$ противоположно направлены, ${\displaystyle BA\uparrow \downarrow BC}$

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на прямой — два луча (две полупрямые) ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$, которые лежат на одной прямой и их пересечение — луч (полупрямая); обозначение: ${\displaystyle k_{1}\upuparrows k_{2}}$. Если их пересечение отрезок (интервал), то они противоположно направлены; обозначение: ${\displaystyle k_{1}\uparrow \downarrow k_{2}}$^[8].

Лучи ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ сонаправлены, ${\displaystyle k_{1}\upuparrows k_{2}}$. Лучи ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{3}}$ противоположно направлены, ${\displaystyle k_{1}\uparrow \downarrow k_{3}}$

Сонаправленные лучи (сонаправленные полупрямые) на плоскости — два луча (две полупрямые) ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$, которые лежат на параллельных прямых и принадлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через начала лучей (через границы полупрямых); обозначение: ${\displaystyle k_{1}\upuparrows k_{2}}$. Если они принадлежат разным указанным полуплоскостям, то они противоположно направлены; обозначение: ${\displaystyle k_{1}\uparrow \downarrow k_{2}}$^[8].

Из сонаправленности лучей (полупрямых) ${\displaystyle k_{1}\upuparrows k_{2}}$ следует противоположная направленность лучей (полупрямых) ${\displaystyle {\bar {k_{1}}}\uparrow \downarrow k_{2}}$^[12].

Теорема 1. Два луча (две полупрямые) противоположно направлены тогда и только тогда, когда они центрально симметричны относительно некоторой точки</math>^[12].

Теорема 2 (транзитивность сонаправленности лучей (полупрямых)). Если два луча (две полупрямые) одновременно сонаправлены третьему лучу (третьей полупрямой), то они сонаправлены друг другу</math>^[12].