Полуплоскость

Обзорная статья: Области комплексной плоскости

Полупло́скость — множество всех точек плоскости, которые находятся по одну сторону от некоторой прямой на этой плоскости^{[1][2][3][4][5][6]}, то есть по ту же сторону, что и некоторая заданная точка вне прямой^[5]. Эта прямая определяет полуплоскость^[4][7] и является её границей^[5][1][2][3], а полуплоскость исходит из своей границы^[8], или просто полуплоскость от границы^[9].

Верхняя полуплоскость

В некоторых источниках граница полуплоскости ей принадлежит, то есть полуплоскость замкнута^[5][10][11]. В некоторых школьных материалах открытость или замкнутость полуплоскости может быть несущественной^[12].

Замкнутая полуплоскость — полуплоскость со своей границей^[1][2][3].

Полуплоскость есть выпуклая неограниченная область как одновременно открытое множество^[13] и неограниченное выпуклое множество^[14].

Другое название замкнутой полуплоскости — односторонник, это простейший плоский выпуклый многосторонник^[15].

Для двумерной гиперболической геометрии (геометрии Лобачевского) построена модель Пуанкаре с метрикой Пуанкаре верхней полуплоскости^[16].

Полуплоскость, обобщение полупрямой и частный случай полупространства, обладает по сравнение с ними следующей особенностью: полуплоскость может быть комплексной^[1][2][3].

На комплексной плоскости верхняя полуплоскость имеет следующее важное свойство. Для любой точки границы единичного круга найдётся такое аналитическое отображение круга на верхнюю полуплоскость, что все преобразования с неподвижной этой точкой переходят в линейные преобразования верхней полуплоскости^[17].

Полуплоскость также есть частный случай трубчатой области^[18].

Определение полуплоскости

Точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle M}$ лежат в одной полуплоскости, точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — в разных полуплоскостях с общей границей ${\displaystyle L}$

Полуплоскость ${\displaystyle H}$ — множество всех точек ${\displaystyle M}$ плоскости, которые находятся по ту же сторону от некоторой прямой ${\displaystyle L}$ на этой плоскости, что и некоторая заданная точка ${\displaystyle A}$ вне прямой, то есть полуплоскость ${\displaystyle H}$ — это точка ${\displaystyle A}$ и множество всех точек ${\displaystyle M}$ таких, что отрезок ${\displaystyle AM}$ не имеет общих точек с прямой ${\displaystyle L}$^[19]. Прямая ${\displaystyle L}$ определяет полуплоскость ${\displaystyle H}$^[4][7] и является её границей^[5][1][2][3].

Замкнутая полуплоскость ${\displaystyle {\bar {H}}}$ — полуплоскость со своей границей ${\displaystyle \partial H}$, ${\displaystyle {\bar {H}}=H\cup \partial H}$^[1][2][3].

Теорема 1. Две точки ${\displaystyle A\notin L}$ и ${\displaystyle M\notin L}$ на одной плоскости лежат в одной и той же полуплоскости, которая определяется прямой ${\displaystyle L}$, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle L}$ не пересекается с отрезком ${\displaystyle AM}$^[7].

Теорема 2. Произвольная прямая ${\displaystyle L}$ на плоскости ${\displaystyle P}$ делит эту плоскость на две полуплоскости ${\displaystyle H_{1}}$ и ${\displaystyle H_{2}}$^[7][19][10]. Более формально: на плоскости ${\displaystyle P}$ вне прямой ${\displaystyle L\subset P}$ существуют точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A,\,B\notin L}$, такие, что разные полуплоскости ${\displaystyle H_{1}\subset P}$ и ${\displaystyle H_{2}\subset P}$, которым принадлежат эти точки, ${\displaystyle A\in H_{1}}$, ${\displaystyle B\in H_{2}}$, заполняют с прямой ${\displaystyle L}$ всю плоскость и имеют своими границами ${\displaystyle L}$, то есть ${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}\cup L=P}$ и ${\displaystyle \partial H_{1}=\partial H_{2}=L}$^[19][10].

Декартовы координаты

В общем двумерном случае на плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ с декартовыми координатами ${\displaystyle (x,\,y)}$ координаты точек полуплоскости отвечают следующему неравенству, использующим общее уравнение прямой

${\displaystyle L(x,\,y)=Ax+By+C>0}$,

где ${\displaystyle A,\,B,\,C}$ — постоянные, причём ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ одновременно не равны нулю^[4][1][2][3].

Граница полуплоскости — прямая, определяющая полуплоскость. В определении это прямая

${\displaystyle L(x,\,y)=Ax+By+C=0}$^[1][2][3].

Комплексные координаты

На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ обычно рассматриваются следующие частные случаи^[1][2][3]:

• верхняя полуплоскость ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z>0}$,
• нижняя полуплоскость ${\displaystyle y=\operatorname {Im} z<0}$,
• левая полуплоскость ${\displaystyle x=\operatorname {Re} z<0}$,
• правая полуплоскость ${\displaystyle x=\operatorname {Re} z>0}$.

Все полуплоскости, граница которых проходит через начало координат, можно представить следующей формулой^[20]:

${\displaystyle t-{\frac {\pi }{2}}<\operatorname {Arg} z<t+{\frac {\pi }{2}}}$, ${\displaystyle \,\,0\leqslant t<2\pi }$.

Прямая и полуплоскость на комплексной плоскости

Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную прямую ${\displaystyle L\subset \mathbb {C} }$. Эта прямая определяется произвольной точкой ${\displaystyle a\in L}$ и вектором направления прямой ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$, поэтому её уравнение будет следующим^[21]:

${\displaystyle L=\{z=a+tb\colon \,b\neq 0,\,-\infty <t<\infty ,\,t\in \mathbb {R} \}.}$

Так как ${\displaystyle b\neq 0}$, то уравнение прямой перепишем в следующем виде^[22]:

${\displaystyle L=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}=0,\,b\neq 0\right\}.}$

Так как ${\displaystyle b\in \mathbb {C} }$ — направление прямой, положим ${\displaystyle |b|=1}$. В этом случае пусть ${\displaystyle a=0}$ и рассмотрим полуплоскость

${\displaystyle H_{0}=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z}{b}}>0\right\}}$,

где ${\displaystyle b=e^{i\beta }}$. Теперь при ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ имеем ${\displaystyle {\frac {z}{b}}=re^{i(\theta -\beta )}}$. Таким образом, ${\displaystyle z}$ принадлежит полуплоскости ${\displaystyle H_{0}}$, ${\displaystyle z\in H_{0}}$, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sin(\theta -\beta )>0}$, то есть когда ${\displaystyle \beta <\theta <\pi +\beta }$. Следовательно, полуплоскость ${\displaystyle H_{0}}$ лежит слева от прямой ${\displaystyle L}$, если «идти по ${\displaystyle L}$ в направлении ${\displaystyle b}$»^[23].

Таким образом, полуплоскость

${\displaystyle H_{a}=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}>0\right\}}$

есть параллельный перенос полупроскости ${\displaystyle H_{0}}$ на вектор ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle H_{a}=a+H_{0}\equiv \{a+w\colon \,w\in H_{0}\}}$. Следовательно, полуплоскость ${\displaystyle H_{a}}$ лежит слева от прямой ${\displaystyle L}$. Точно так же полуплоскость

${\displaystyle K_{a}=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}<0\right\}}$

лежит справа от прямой ${\displaystyle L}$^[23].

Пример. Определение касательной

Рассмотрим на комплексной плоскости произвольную окружность ${\displaystyle C\subset \mathbb {C} }$, ${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} \colon \,|z-c|=r,\,r>0,\,r\in \mathbb {R} \}.}$ Возьмём на окружности ${\displaystyle C}$ произвольную точку ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle a=c+re^{i\alpha }}$, и проведём через неё следующую прямую^[24]:

${\displaystyle L_{\beta }=\left\{z\colon \,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}=0,\,b=e^{i\beta }\right\}.}$

Прямая ${\displaystyle L_{\beta }}$ касается окружности ${\displaystyle C}$ в точке ${\displaystyle a}$ тогда и только тогда, когда окружность ${\displaystyle C}$ полностью, кроме точки ${\displaystyle a}$, принадлежит одной из полуплоскостей с границей ${\displaystyle L_{\beta }}$, то есть когда для произвольной точки ${\displaystyle z=c+re^{i\gamma }}$ окружности ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle \gamma \neq \alpha }$,

${\displaystyle \operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}>0\,\,}$ или ${\displaystyle \,\,\operatorname {Im} {\frac {z-a}{b}}<0}$,

то есть

${\displaystyle \sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\cos \left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)\neq 0}$,

поскольку верна следующая цепочка равенств^[25]:

${\displaystyle {\frac {z-a}{b}}={\frac {c+re^{i\gamma }-(c+re^{i\alpha })}{e^{i\beta }}}={\frac {e^{i\gamma }-e^{i\alpha }}{e^{i\beta }}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{e^{i\beta }}}(\cos \gamma +i\sin \gamma -(\cos \alpha +i\sin \alpha ))=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{e^{i\beta }}}\left(-2\sin {\frac {\gamma +\alpha }{2}}\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}+2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\cos {\frac {\gamma +\alpha }{2}}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{e^{i\beta }}}\left(2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\left(i\sin {\frac {\gamma +\alpha }{2}}+\cos {\frac {\gamma +\alpha }{2}}\right)\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{e^{i\beta }}}\left(2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}e^{\frac {\gamma +\alpha }{2}}\right)=2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}e^{{\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta }=}$

${\displaystyle =2i\sin {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\left(\cos \left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)+i\sin \left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)\right)}$.

Так как ${\displaystyle \gamma \neq \alpha }$, то решением неравенства будет совокупность неравенств, состоящая из двух систем неравенств:

1) ${\displaystyle {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\neq 0}$, ${\displaystyle \,\,\left({\frac {\gamma +\alpha }{2}}-\beta \right)\neq -{\frac {\pi }{2}}}$,

${\displaystyle {\frac {\gamma -\alpha }{2}}\neq 0}$, ${\displaystyle \,\,\left({\frac {\gamma -\alpha }{2}}+\alpha -\beta +{\frac {\pi }{2}}\right)\neq 0}$,

${\displaystyle \gamma \neq \alpha }$, ${\displaystyle \,\,\alpha -\beta +{\frac {\pi }{2}}=0}$;

2) ${\displaystyle \gamma \neq \alpha }$, ${\displaystyle \,\,\alpha -\beta -{\frac {\pi }{2}}=0}$,

откуда окончательно получаем^[25]:

${\displaystyle \beta =\alpha \pm {\frac {\pi }{2}}}$.

Отображения с полуплоскостью

Основная статья: Полоса (математика)

1. Единичный круг. На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$ единичный круг ${\displaystyle |z|<1}$ и верхняя полуплоскость ${\displaystyle \operatorname {Im} z>0}$ дробно-линейно изоморфны^[26], поскольку верхняя полуплоскость конформно отображается на единичный круг следующим дробно-линейным отображением^[1][2][3]:

${\displaystyle e^{i\theta }{\frac {z-a}{z-{\bar {a}}}},\,a\in \mathbb {C} ,\,\theta \in \mathbb {R} ,\,\operatorname {Im} a>0.}$

2. Полуполоса. На комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с координатами ${\displaystyle z=x+iy}$ однолистное и конформное преобразование ${\displaystyle w=\sin z}$ отображает полуполосу ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y>0}$ на верхнюю полуплоскость. На рисунке внизу показано соответствие линий при этом преобразовании, а именно^[27]:

• вертикальные лучи ${\displaystyle \{x=x_{0},\,0<y<\infty \}}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части гипербол с фокусами ${\displaystyle \pm 1}$;
• горизонтальные отрезки ${\displaystyle \{-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}},\,y=y_{0}\}}$ отображаются на верхнюю полуплоскость в части эллипсов с теми же фокусами ${\displaystyle \pm 1}$.

• Преобразование полуполосы в полуплоскость
• 
  Преобразование вертикальной полуполосы в верхнюю полуплоскость функцией ${\displaystyle w=\sin z}$

Пересечение выпуклых фигур

Пересечение трёх фигур

Обзорные статьи: Геометрическая фигура и Выпуклое множество

Пересечение фигур ${\displaystyle M_{1},\,M_{2},\,\dots ,\,M_{k}}$ — фигура, которая состоит из всех тех точек, которые принадлежат сразу всем фигурам ${\displaystyle M_{1},\,M_{2},\,\dots ,\,M_{k}}$^[28].

Вполне возможно пересечение произвольного неограниченного количества фигур^[29].

Теорема 1. Пересечение произвольного количества выпуклых фигур суть снова выпуклая фигура, если оно включает хотя бы одну точку)^[29].

Доказательство^[29]

Рассмотрим пересечение ${\displaystyle M}$ бесконечного числа выпуклых фигур ${\displaystyle M_{1},\,M_{2},\,\dots .}$ Найдём две любые точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ новой фигуры ${\displaystyle M}$. По определению пересечения, эти точки принадлежат любой из фигур ${\displaystyle M_{1},\,M_{2},\,\dots .}$ Поскольку эти фигуры ${\displaystyle M_{1},\,M_{2},\,\dots }$ выпуклы, то любая их них включает и весь отрезок ${\displaystyle AB}$. Но тогда и пересечение этих фигур ${\displaystyle M_{1},\,M_{2},\,\dots }$ — фигура ${\displaystyle M}$ — включает этот отрезок ${\displaystyle AB}$. Таким образом, фигура ${\displaystyle M}$ вместе с двумя любыми точками ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ включает также и соединяющий их отрезок ${\displaystyle AB}$ и по определению выпукла.

Следующую теорему можно взять за новое определение выпуклой фигуры^[15].

Теорема 2. Плоская фигуры выпукла тогда и только тогда, когда её можно представить как пересечение некоторого количества полуплоскостей^[15].

Замечание. Полуплоскостями, пересечение которых представляет собой заданную выпуклую фигуру ${\displaystyle M}$, могут быть все полуплоскости, которые содержат эту фигуру ${\displaystyle M}$ и ограничены её опорными прямыми^[15].

Доказательство^[29]

1. Достаточность. Из теоремы 1 вытекает, что, поскольку плоскость выпукла, то пересечение произвольного количества полуплоскостей есть выпуклая фигура.

2. Необходимость. Существуют полуплоскости, которым целиком принадлежит фигура ${\displaystyle M}$; например, каждая опорная прямая фигуры ${\displaystyle M}$ разбивает плоскость на две полуплоскости, в одной из которых лежит ${\displaystyle M}$. Далее, пересечение всех полуплоскостей, в которых лежит ${\displaystyle M}$, — фигура ${\displaystyle N}$ выпукла и содержит ${\displaystyle M}$.

Докажем, что ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ совпадают. Рассмотрим точку ${\displaystyle A}$, не принадлежащую фигуре ${\displaystyle M}$. Найдём какую-нибудь прямую ${\displaystyle l}$, которая разделяет выпуклую фигуру ${\displaystyle M}$ и выпуклую ограниченную фигуру ${\displaystyle A}$. Тогда полуплоскость, определяемая прямой ${\displaystyle l}$ и содержащая фигуру ${\displaystyle M}$, точку ${\displaystyle A}$ не содержит, и по построению фигуры ${\displaystyle N}$ точка ${\displaystyle A}$ не лежит в ${\displaystyle N}$. Следовательно, точки, не принадлежащие ${\displaystyle M}$, не принадлежат и ${\displaystyle N}$, то есть ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ совпадают.

Выпуклый многосторонник

Основная статья: Выпуклый многосторонник

Отрезок как выпуклый четырёхсторонник

Выпуклый многосторонник — фигура на плоскости, которую можно представить как пересечение конечного числа замкнутых полуплоскостей^[15].

Простейший выпуклый многосторонник — это односторонник, то есть замкнутая полуплоскость^[15].

Треугольник — простейший ограниченный выпуклый многосторонник; при ${\displaystyle n\geqslant 3}$ выпуклые трёхсторонники, четырёхсторонники и так далее бывают ограниченные и неограниченные. Отрезок — пример выпуклого ограниченного четырёхсторонника^[15].