Порядок величины

Порядок величины — класс эквивалентности ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ величин (или шкал) ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace }$, выражающих некоторые количества, в рамках которого все величины имеют фиксированное отношение ${\displaystyle r={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}}$ к соответствующим величинам предыдущего класса.

Чаще под порядком подразумевают не сам класс эквивалентности ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ а некоторую его числовую характеристику, задающую этот класс при данных условиях (например, порядковый номер класса ${\displaystyle n}$ при условии, что некоторый класс ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ был задан или подразумевается).

Порядок числа

При работе с числами, представленными в некоторой системе счисления по основанию ${\displaystyle b}$, чаще всего принимают ${\displaystyle r=b}$ и ${\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}_{1}}$, ${\displaystyle b\in {\mathcal {C}}_{2}}$. При этом ${\displaystyle n}$ совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.

Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace }$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace }$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace }$

Аналогичным образом можно определить порядки чисел и для других оснований системы счисления. Чаще других рассматривают

• порядки чисел по основанию ${\displaystyle b=10}$,
• порядки чисел по основанию ${\displaystyle b=2}$
• порядки чисел по основанию ${\displaystyle b=e}$.

Порядок чисел в естественном языке

В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в ${\displaystyle 10^{n}}$ раз больше, где ${\displaystyle n}$ — достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше». Также последнее время стало распространённым ошибочное использование выражения «порядка N», где N — некоторое число. При этом исходя из контекста понятно, что подразумевается «примерно N», что, конечно, не соответствует определению термина «порядок числа».

Порядок чисел и логарифмическая функция

Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n},{\mathcal {C}}_{n+1},{\mathcal {C}}_{n+2},\ldots ,{\mathcal {C}}_{n+d}}$ могут быть записаны как ${\displaystyle x,rx,r^{2}x,\ldots ,r^{d}x}$, где ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{n}}$ — первое из чисел. Это свойство определяет связь понятия порядка числа с показательной и обратной к ней логарифмической функцией.

В частности при помощи понятия логарифмической функции может быть сформулировано необходимое условие принадлежности чисел к одному порядку: Пусть на множестве положительных чисел задано какое-то разбиение на порядки. Если два числа принадлежат одному порядку, то ${\displaystyle \left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1}$.

Доказательство

Действительно, пусть числа ${\displaystyle m\in {\mathcal {C}}_{n}}$ и ${\displaystyle M\in {\mathcal {C}}_{n}}$ являются минимальным и максимальным числом, принадлежащим порядку ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$. Если число ${\displaystyle x\in {\mathcal {C}}_{n}}$ так же принадлежит порядку ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$, то его значение должно удовлетворять условию ${\displaystyle m\leq x\leq M}$. В то же время числа ${\displaystyle rm}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{r}}M}$ принадлежат смежным с порядком ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ порядкам ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n+1}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n-1}}$ соответственно. Из этого следует, что для любого числа ${\displaystyle x}$ в данном порядке выполняется соотношение ${\displaystyle {\frac {1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm}$.

Пусть два числа ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ принадлежат данному порядку ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$. Тогда ${\displaystyle -1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{\frac {M}{{\frac {1}{r}}M}}=1}$.

Разность порядков

Если два числа ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ принадлежат порядкам ${\displaystyle x_{1}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}}$ и ${\displaystyle x_{2}\in {\mathcal {C}}_{n_{2}}}$ в некотором разбиении положительных чисел на порядки, то значение ${\displaystyle d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}}$ иногда называют разностью порядков этих чисел.

Для двух чисел ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ разность их порядков может быть найдена как ${\displaystyle d=\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor }$ при ${\displaystyle x_{2}\geq x_{1}}$.

Доказательство

Выберем число ${\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}\in {\mathcal {C}}_{n_{1}}}$ принадлежащее порядку ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n_{1}}}$ и соответствующее числу ${\displaystyle x_{2}}$ из порядка ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n_{2}}}$. По определению порядка существует такое целое ${\displaystyle d}$, что ${\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}=r^{-d}x_{2}}$. Получаем, что ${\displaystyle \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}}$.

Числа ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}^{\mathord {*}}}$ принадлежат одному порядку и потому ${\displaystyle \log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}<1}$. В то же время число ${\displaystyle d}$ является целым, а значит ${\displaystyle d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{\mathord {*}}}{x_{1}}}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right\rfloor }$.

В случае ${\displaystyle x_{2}\leq x_{1}}$ разность порядков иногда берут с отрицательным знаком ${\displaystyle d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})}$.

Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.

Обобщение разности порядков

Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение ${\displaystyle d=\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}}$.

В такой интерпретации смысл приобретают выражения вроде «числа ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ различаются не более чем на полпорядка», то есть ${\displaystyle \left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}}$ или ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}}$.

См. также

• Экспоненциальная запись
• Порядок величины (площадь)

Ссылки

• Brians, Paus. Orders of Magnitude  (неопр.). Дата обращения: 9 мая 2013. Архивировано 22 апреля 2017 года.
• Order of Magnitude  (неопр.). Wolfram MathWorld. Дата обращения: 3 января 2017. Архивировано 6 января 2017 года.