Постоянная Гельфонда

Постоянная Гельфонда — трансцендентное число ${\displaystyle e^{\pi }}$ (то есть e в степени π). Названа в честь Александра Осиповича Гельфонда. Доказательство трансцендентности этого числа — один из пунктов седьмой проблемы Гильберта.

Численное значение

Десятичное представление постоянной Гельфонда:

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23{,}140\,692\,632\,779\,269\,005\,729\,086\,367\,948\,547\ldots }$

Его приближённые значения можно получать^[1], используя рекуррентно определённую последовательность

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}},}$ где ${\displaystyle k_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},}$

а именно следующее выражение:

${\displaystyle e^{\pi }\approx \left({\frac {1}{4}}k_{n}\right)^{-2^{1-n}}.}$

При этом сходимость таких приближений к ${\displaystyle e^{\pi }}$ достаточно быстрая.

Численное значение постоянной также представимо в виде простой непрерывной дроби^[2]: [23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, …].

Свойства

• ${\displaystyle (e^{\pi })^{i}=-1}$

• ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{-i}}$

• ${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19,9990999791894...}$

• Каждая дополнительная орбита серий отражений фотонной сферы вокруг невращающейся чёрной дыры Шварцшильда определяется множителем ${\displaystyle e^{2\pi }=535.4916555247...}$ (квадрат постоянной Гельфонда)^[3].