Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Правильный косой многогранник

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Правильный косой многогранник — это обобщение множества правильных многогранников, которое включает возможность непланарных граней или вершинных фигур. Коксетер рассматривал косые вершинные фигуры, которые создавали новые четырёхмерные правильные многогранники, а много позднее Бранко Грюнбаум рассматривал правильные косые грани.[1]

Описание правильных косых многогранников

Правильные косые многогранники не являются многогранниками в привычном смысле. Как Коксетер пишет в статье THE REGULAR SPONGES, OR SKEW POLYHEDRA (Правильные губки или косые многогранники), «Заполнение гранями отличается от конечных многогранников тем, что для них понятия внутри и снаружи совершено одно и то же. Такие заполнения помогают думать о многограннике как о поверхности, а не как о теле. Чтобы получить новые многогранники, нужно изловчиться, чтобы у вершины можно было разместить больше многоугольников, чем это разрешается кристаллографическими ограничениями (сумма углов при вершине меньше )». Чтобы достичь такого эффекта, Петри разрешил рёбрам идти в другую сторону от плоскости, что приводит к губкам, то есть поверхностям с незакрытыми дырами (дыра одного многогранника закрывается дырой другого, так что все они образуют бесконечную губку)[2].

Remove ads

История

Согласно Коксетеру в 1926 Джон Флиндерс Петри[англ.] обобщил концепцию пространственных многоугольников (непланарных многоугольников) [3] в правильные косые многогранники.

Коксетер предложил модифицированный символ Шлефли {l,m|n} для этих фигур, где {l,m} означает вершинную фигуру, m l-угольников вокруг вершины, а nn-угольные дыры. Их вершинные фигуры являются пространственными многоугольниками, пробегающими зигзагом между двумя плоскостями.

Правильные косые многогранники, представленные символом {l,m|n}, удовлетворяют равенству:

2*cos(π/l)*cos(π/m)=cos(π/n)

Первое множество {l, m | n} представляет пять выпуклых платоновых тел и одно невыпуклое тело Кеплера — Пуансо:

Подробнее {l, m | n}, Граней ...
Remove ads

Конечные правильные косые многогранники в 4–мерном пространстве

Суммиров вкратце
Перспектива
Подробнее A4 проекции плоскости Коксетера, {4, 6 | 3} ...

Коксетер также перечислил большое число конечных правильных многогранников в своей статье "regular skew polyhedra in three and four dimensions, and their topological analogues" (правильные косые многогранники в трёхмерном и четырёхмерном пространствах и их топологические аналоги).

Подобно как бесконечные косые многогранники представляют поверхность многообразия между ячейками выпуклых однородных сот[англ.], конечные виды представляют поверхности многообразия в ячейках однородного 4-мерного многогранника[англ.].

Многогранники вида {2p, 2q | r} связаны с группой Коксетера симметрии [(p,r,q,r)], которая сводится к линейной [r,p,r] при q, равном 2. Коксетер даёт этой симметрии обозначение [[(p,r,q,r)]+], которая, по его словам, изоморфна его абстрактной группе (2p,2q|2,r). Связанные соты имеют расширенную симметрию [[(p,r,q,r) ]] [4].

{2p,4|r} представляется {2p} гранями глубокоусечённого[англ.] {r,p,r} однородного 4-мерного многогранника[англ.], а {4,2p|r} представляется квадратными гранями струганного[англ.] {r,p,r} (рансифицировнного).

{4,4|n} образует n-n дуопризму, и, в частности, {4,4|4} укладывается в {4}x{4} тессеракт.

Thumb Thumb Thumb
{4,4| n} представляют квадратные грани дуопризм, с n-угольными гранями в качестве дыр и представляет тор Клиффорда и аппроксимацию двойного цилиндра {4,4|6} имеет 36 квадратных граней и в перспективной проекции выглядит как квадраты, выбранные в 6,6 двойном цилиндре. Кольцо из 60 треугольников образует правильный косой многогранник в подмножестве граней 600-ячейника.
Подробнее {l, m | n}, Граней ...
Подробнее {l, m | n}, Граней ...
Подробнее {l, m | n}, Граней ...

Последнее множество основано на дальнейших расширенных форм Коксетера {q1,m|q2,q3...} или с q2 неспецифицированным: {l, m |, q}.

Подробнее {l, m |, q}, Граней ...
Remove ads

См. также

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads