Праймориал

Праймориал, примориал (англ. Primorial) — в теории чисел функция над рядом натуральных чисел, схожая с функцией факториала, с разницей в том, что праймориал является последовательным произведением простых чисел, меньших или равных данному, в то время как факториал является последовательным произведением всех натуральных чисел, меньших или равных данному.

p_n# как функция n на логарифмической шкале

n# как функция n (выделено красным), по сравнению с n!. Оба графика в логарифмической шкале

Термин «праймориал» ввёл в научный оборот американский инженер и математик Харви Дабнер^[англ.] в 1987 году^[1].

Определение для простых чисел

Для n-го простого числа p_n праймориал p_n# определён как произведение первых n простых чисел^[2][3]:

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k},}$

где p_k — k-е простое число.

Например, p₅# обозначает произведение первых 5 простых чисел:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Таким образом, первые шесть праймориалов:

1, 2, 6, 30, 210, 2310 (последовательность A002110 в OEIS, также включает p₀# = 1 как пустое произведение^[англ.]).

Асимптотически праймориалы p_n# растут в соответствии с

${\displaystyle p_{n}\#=e^{[1+o(1)]n\log n},}$

где ${\displaystyle o(\cdot )}$ является нотацией «o» малого^[3].

Определение для натуральных чисел

В общем случае для целого положительного числа n праймориал n# может быть определён как произведение простых чисел, меньших или равных n^[2][4]:

${\displaystyle n\#=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#,}$

где ${\displaystyle \pi (n)}$ является функцией распределения простых чисел (последовательность A000720 в OEIS), дающая количество простых чисел ≤ n, что эквивалентно

${\displaystyle n\#={\begin{cases}1&{\text{при }}n=1,\\n\times ((n-1)\#)&{\text{при простом }}n>1,\\(n-1)\#&{\text{при составном }}n>1.\end{cases}}}$

Например, 12# представляет собой произведение простых чисел, каждое из которых ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Таким образом, ${\displaystyle \pi (12)=5}$ может быть вычислено как

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Рассмотрим первые 12 праймориалов:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

Мы видим, что для составных чисел каждый член данной последовательности просто дублирует предыдущий. В приведенном выше примере мы имеем, что 12# = p₅# = 11#, поскольку 12 является составным числом.

Натуральный логарифм n# — это первая функция Чебышева, записанная в виде ${\displaystyle \theta (n)}$ или ${\displaystyle \vartheta (n)}$, что приближается к линейной n для больших значений n^[5].

Праймориалы n# растут в соответствии с

${\displaystyle \ln(n\#)\sim n.}$

Свойства и приложения

Праймориалы играют важную роль в поиске простых чисел в арифметических прогрессиях из простых чисел. Например, сложение чисел 2236133941 + 23# даёт в результате простое число, начинающее последовательность из тринадцати простых чисел, которые можно получить, последовательно прибавляя 23#, и заканчивающуюся числом 5136341251. 23# является также общей разностью в арифметических прогрессиях из пятнадцати и шестнадцати простых чисел.

Каждое многосоставное число можно представить в виде произведения праймориалов (например, 360 = 2 · 6 · 30)^[6].

Все праймориалы являются бесквадратными числами, и каждый из них имеет простые делители любого числа меньшего, чем праймориал. Для каждого праймориала n отношение ${\displaystyle \phi (n)/n}$ меньше, чем для любого целого числа, где ${\displaystyle \phi }$ является функцией Эйлера.

Каждый праймориал является слабо тотиентным числом^{[англ.][7]}.

Аппроксимация

Дзета-функция Римана для положительных чисел, больших единицы, может быть выражена^[8] с использованием праймориала и функции Жордана ${\displaystyle J_{k}(n)}$:

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }$

Таблица значений

n	n#	pn	pn#
0	1	не существует	не существует
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410
16	30030	53	32589158477190044730
17	510510	59	1922760350154212639070
18	510510	61	117288381359406970983270
19	9699690	67	7858321551080267055879090
20	9699690	71	557940830126698960967415390

Композиториал

Композиториал числа n в отличие от праймориала является произведением составных чисел, меньших или равных n. Композиториал равен отношению факториала и праймориала числа: ${\displaystyle n!/n\#}$. Первые пятнадцать композиториалов (исключая повторяющиеся значения) равны 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000^[9][10][11].

См. также

• Праймориальное простое
• Факториал