Сверхсоставное число

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители

История

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако, по мнению математика Жан-Пьера Кахане^[англ.], они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.^[1]

Примеры

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (последовательность A002182 в OEIS).

номер	Сверхсоставное	разложение на простые	число делителей	разложение на праймориалы
1	1		1
2	2	${\displaystyle 2}$	2	${\displaystyle 2}$
3	4	${\displaystyle 2^{2}}$	3	${\displaystyle 2^{2}}$
4	6	${\displaystyle 2\cdot 3}$	4	${\displaystyle 6}$
5	12	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3}$	6	${\displaystyle 2\cdot 6}$
6	24	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3}$	8	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6}$
7	36	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}}$	9	${\displaystyle 6^{2}}$
8	48	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3}$	10	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6}$
9	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3\cdot 5}$	12	${\displaystyle 2\cdot 30}$
10	120	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5}$	16	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30}$
11	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	18	${\displaystyle 6\cdot 30}$
12	240	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5}$	20	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30}$
13	360	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	24	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 30}$
14	720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5}$	30	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30}$
15	840	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	32	${\displaystyle 2^{2}\cdot 210}$
16	1260	${\displaystyle 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	36	${\displaystyle 6\cdot 210}$
17	1680	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3\cdot 5\cdot 7}$	40	${\displaystyle 2^{3}\cdot 210}$
18	2520	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	48	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 210}$
19	5040	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	60	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 210}$
20	7560	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	64	${\displaystyle 6^{2}\cdot 210}$
21	10080	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	72	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 210}$
22	15120	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7}$	80	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 210}$
23	20160	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7}$	84	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 210}$
24	25200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	90	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 210}$
25	27720	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	96	${\displaystyle 2\cdot 6\cdot 2310}$
26	45360	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7}$	100	${\displaystyle 6^{3}\cdot 210}$
27	50400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7}$	108	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 210}$
28	55440	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	120	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 2310}$
29	83160	${\displaystyle 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	128	${\displaystyle 6^{2}\cdot 2310}$
30	110880	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	144	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6\cdot 2310}$
31	166320	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	160	${\displaystyle 2\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
32	221760	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	168	${\displaystyle 2^{4}\cdot 6\cdot 2310}$
33	277200	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	180	${\displaystyle 2^{2}\cdot 30\cdot 2310}$
34	332640	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	192	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
35	498960	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{4}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	200	${\displaystyle 6^{3}\cdot 2310}$
36	554400	${\displaystyle 2^{5}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}\cdot 7\cdot 11}$	216	${\displaystyle 2^{3}\cdot 30\cdot 2310}$
37	665280	${\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 11}$	224	${\displaystyle 2^{3}\cdot 6^{2}\cdot 2310}$
38	720720	${\displaystyle 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13}$	240	${\displaystyle 2^{2}\cdot 6\cdot 30030}$

Разложение на простые

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число ${\displaystyle n}$ имеет единственное разложение на простые:

${\displaystyle n=p_{1}^{c_{1}}\times p_{2}^{c_{2}}\times \cdots \times p_{k}^{c_{k}}\qquad (1)}$

где ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{k}}$ простые, и степени ${\displaystyle c_{i}}$ положительные целые числа. Число делителей ${\displaystyle d(n)}$ числа ${\displaystyle n}$ можно выразить следующим образом:

${\displaystyle d(n)=(c_{1}+1)\times (c_{2}+1)\times \cdots \times (c_{k}+1).\qquad (2)}$

Таким образом, для сверхсоставного числа ${\displaystyle n}$ выполняется следующее

• Числа ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$ являются первыми ${\displaystyle k}$ простыми числами.
• Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть ${\displaystyle c_{1}\geq c_{2}\geq \cdots \geq c_{k}}$.
  • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
• За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень ${\displaystyle c_{k}}$ равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 2⁵ × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность

Существуют постоянные a и b, обе больше чем 1, такие, что

${\displaystyle \ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b},}$

Где ${\displaystyle Q(x)}$ обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных ${\displaystyle x}$.

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдёшем в 1944 году; вторую доказал Жан-Луи Николас^[англ.] в 1988 году.

Известно также, что

${\displaystyle 1{,}13862<\liminf {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}44}$

и

${\displaystyle \limsup {\frac {\log Q(x)}{\log \log x}}\leq 1{,}71.}$

Свойства

• Все сверхсоставные числа, большие 6, являются избыточными.

• Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
  • первый контрпример это 245 044 800, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. также

• Высокототиентное число
• Таблица делителей
• Функция Эйлера