Проективное представление

Проективное представление группы ${\displaystyle G}$ на векторном пространстве ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle F}$ — это гомоморфизм ${\displaystyle G}$ в проективную группу

${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$

где ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ — полная линейная группа, а ${\displaystyle F^{*}}$ — нормальная подгруппа, состоящая из скалярных множителей тождественного оператора.^[1] Иными словами, это набор операторов ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$ таких, что

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh)}$

для некоторой константы ${\displaystyle c(g,h)\in F}$.

Некоторые проективные представления можно получить из представлений ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ с помощью факторотображения ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)}$. Особый интерес для алгебры представляет ситуация, когда данное проективное представление может быть «поднятно» до обычного линейного представления ${\displaystyle \mathrm {GL} (V);}$ в общем случае препятствия к этому описываются когомологиями групп.

Важнейшим случаем являются проективные представления групп Ли, изучение которых приводит к рассмотрению представлений их центральных расширений. Во многих интересных случаях достаточно исследовать представления накрывающих групп, которым соответствуют проективные представления накрываемой группы:

• Специальная ортогональная группа ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,F)}$ дважды накрывается спинорной группой ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n,F)}$.
• В частности, группа вращений трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ накрывается ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)}$, изучение представлений которой соответственно имеет важнейшее значение для нерелятивистской теории спина.
• Аналогично, релятивистская теория спина начинается с рассмотрения представлений ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )}$ универсального накрытия группы Лоренца ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(3,1)}$.
• Универсальное накрытие группы Пуанкаре есть полупрямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3,1}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$, представления которой дают нам классификацию Вигнера частиц и полей в физике.

Теорема Баргмана утверждает, что если двумерные когомологии ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ тривиальны, то всякое проективное унитарное представление ${\displaystyle G}$ может быть поднятно до обычного унитарного представления ${\displaystyle G}$.^[2][3] Условия теоремы выполнены, в частности, для полупростых групп Ли и группы Пуанкаре.

См. также

• Спинор
• Спинорная группа
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Расширение группы
• Симметрия в квантовой механике
• Теория представлений группы Лоренца