Пространство Урысона

Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

Определение

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство ${\displaystyle \mathbb {U} }$, обладающее следующими двумя свойствами:

• Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {U} }$.
• Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U} }$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

Замечание

• Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство ${\displaystyle \mathbb {U} }$, обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение ${\displaystyle A\to \mathbb {U} }$ из подмножества ${\displaystyle A}$ конечного метрического пространства ${\displaystyle F}$ можно продолжить до изометрического отображения ${\displaystyle F\to \mathbb {U} }$.

Свойства

• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ существует и единственно с точностью до изометрии.

• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества ${\displaystyle K\subset \mathbb {U} }$ в ${\displaystyle U}$ можно продолжить до изометрии ${\displaystyle \mathbb {U} }$.

• Пространство Урысона ${\displaystyle \mathbb {U} }$ гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.^[1]

• При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
  • Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи.

История

Морис Фреше доказал, что пространство ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.^[2]

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.^[3] В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.