Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Пространство Урысона
Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается .
Определение
Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство , обладающее следующими двумя свойствами:
- Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству .
- Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии .
Замечание
- Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство , обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение из подмножества конечного метрического пространства можно продолжить до изометрического отображения .
Remove ads
Свойства
- Пространство Урысона существует и единственно с точностью до изометрии.
- Пространство Урысона является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества в можно продолжить до изометрии .
- Пространство Урысона гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.[1]
- При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
- Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи.
Remove ads
История
Морис Фреше доказал, что пространство универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.[2]
На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.[3] В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.
Примечания
Ссылки
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads