Прямая Шоха

Прямая Шоха — это прямая, определённая для арбелоса и названная Питером Ву именем Томаса Шоха, который изучал её в связи с окружностями Шоха^[англ.].

Прямая Шоха (голубая) проходит через точку A₁.

Построение

Арбелос — это фигура, ограниченная тремя касающимися друг друга дугами с коллинеарными концами дуг, причём две меньшие дуги вписаны в большую дугу. Пусть конечные точки трёх дуг будут (в порядке расположения на прямой, их содержащей) A, B и C. Пусть K₁ и K₂ будут двумя дополнительными дугами с центрами в A и C соответственно, имеющими радиусы AB и CB, так что эти две дуги касаются друг друга в точке B. Пусть K₃ будет наибольшей из трёх дуг, образующих арбелос. Окружность с центром A₁ касается дуг K₁, K₂ и K₃. Эта окружность конгруэнтна (равна) кругам-близнецам, тем самым являясь архимедовым кругом^[англ.], это одна из кругов Шоха^?!. Прямая Шоха перпендикулярна прямой AC и проходит через точку A₁. Она является также местом центров бесконечного числа архимедовых кругов, например, круга Ву^{[англ.][1]}.

Радиус и центр A1

Если ${\displaystyle r=AB/AC}$ и ${\displaystyle AC=1}$, то радиус окружности of A₁ равен

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}r\left(1-r\right)}$

а координаты центра

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}r\left(-1+3r-2r^{2}\right)~,~r\left(1-r\right){\sqrt {\left(1+r\right)\left(2-r\right)}}\right)}$^[1].