Разрешимая алгебра Ли

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является разрешимой, если её производный ряд заканчивается нулевой подалгеброй. Производная алгебра Ли алгебры Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является подалгеброй ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, обозначаемой ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$, которая состоит из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Производный ряд представляет собой последовательность подалгебр

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}$

Если производный ряд в конечном итоге достигает нулевой подалгебры, то такая алгебра Ли называется разрешимой^[1]. Производный ряд для алгебр Ли аналогичен производному ряду для коммутантных подгрупп в теории групп, а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп.

Любая нильпотентная алгебра Ли является заведомо разрешимой, но обратное неверно. Разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два обширных и в целом дополняющих друг друга класса, как показывает разложение Леви. Разрешимые алгебры Ли – это в точности те, которые могут быть получены с помощью полупрямых произведений, начиная с нуля и добавляя по одному измерению за раз^[2].

Максимальная разрешимая подалгебра называется подалгеброй Бореля. Наибольший разрешимый идеал алгебры Ли называется радикалом.

Характеристики

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ — конечномерная алгебра Ли над полем характеристики 0. Следующие условия эквивалентны.

• (1) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима.
• (2) ${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$, присоединённое представление ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, разрешима.
• (3) Существует конечная последовательность идеалов ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ :

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (4) ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ нильпотентна^[3].
• (5) Для ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ -мерном пространстве существует конечная последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ :

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

с каждым ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i+1}}$ идеал в ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}}$^[4]. Последовательность такого типа называется элементарной последовательностью .

• (6) Существует конечная последовательность подалгебр ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

такая, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ является идеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$ является абелевым^[5].

• (7) Форма Киллинга ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ удовлетворяет условию ${\displaystyle B(X,Y)=0}$ для всех X в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и Y в ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$^[6]. Это критерий разрешимости Картана.

Характеристики

Теорема Ли утверждает, что если ${\displaystyle V}$ — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики, и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является разрешимой алгеброй Ли, и если ${\displaystyle \pi }$ является представлением ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над ${\displaystyle V}$, то существует одновременный собственный вектор ${\displaystyle v\in V}$ эндоморфизмов ${\displaystyle \pi (X)}$ для всех элементов ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$^[7].

• Каждая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы^[8].
• Дана алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и идеал ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ в нем,

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима тогда и только тогда, когда оба ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ разрешимы^[8][2].

Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли при условии, что ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ содержится в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры посредством разрешимой алгебры является разрешимым, а центральное расширение нильпотентной алгебры посредством нильпотентной алгебры является нильпотентным.

• Разрешимая ненулевая алгебра Ли имеет ненулевой абелев идеал – последний ненулевой член в производном ряду^[2].
• Если ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$ являются разрешимыми идеалами, то такова же ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$^[1]. Следовательно, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ конечномерно, то существует единственный разрешимый идеал ${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$ содержащий все разрешимые идеалы в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ Этот идеал является радикалом ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^[2].
• Разрешимая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет единственный наибольший нильпотентный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$, называемый нильрадикалом, множество всех ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ такой что ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ нильпотентна. Если D — это любое производное от ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, затем ${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$^[9].

Полностью разрешимые алгебры Ли

Алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ называется вполне разрешимым или расщепляемым разрешимым, если он имеет элементарную последовательность идеалов в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ от ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Конечномерная нильпотентная алгебра Ли полностью разрешимой, а полностью разрешимая алгебра Ли является разрешимой. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но ${\displaystyle 3}$ -мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых движений плоскости является разрешимой, но не полностью разрешимой.

Разрешимая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является расщепляемо разрешимой тогда и только тогда, когда собственные значения ${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$ находятся в ${\displaystyle k}$ для всех ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^[2].

Примеры

Абелевы алгебры Ли

Каждая абелева алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ разрешима по определению, так как ее коммутатор ${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$. Это включает в себя алгебру Ли диагональных матриц в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$, которые имеют вид

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

для ${\displaystyle n=3}$. Структура алгебры Ли на векторном пространстве ${\displaystyle V}$, заданная тривиальной скобкой ${\displaystyle [m,n]=0}$ для любых двух матриц ${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$ даёт ещё один пример.

Нильпотентные алгебры Ли

Другой класс примеров относится к нильпотентным алгебрам Ли, поскольку присоединённое представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнедиагональные матрицы, например, класс матриц вида

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

называется алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц. Кроме того, алгебра Ли верхнедиагональных матриц в ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ образуют разрешимую алгебру Ли. Она включает матрицы вида

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

и обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$ .

Разрешимая, но не расщепляемая

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ - множеством матриц в форме

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

Тогда ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ разрешима, но не расщепляема^[2]. Она изоморфна алгебре Ли группы переносов и поворотов на плоскости.

Контрпример

Полупростая алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$ никогда не разрешима, так как ее радикал ${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$, который является наибольшим разрешимым идеалом в ${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$, тривиально^[1]. ^{страница 11}

Разрешимые группы Ли

Поскольку термин «разрешимая» в теории групп также используется для обозначения разрешимых групп, существует несколько возможных определений разрешимой группы Ли. Для группы Ли ${\displaystyle G}$ имеем

• завершение обычного производного ряда группы ${\displaystyle G}$ (как абстрактная группа);
• прекращение замыканий производного ряда;
• имеющий разрешимую алгебру Ли

Смотрите также

• Критерий Картана
• Форма Киллинга
• Теорема Ли — Колчина