Теорема Ли — Колчина

Теорема Ли — Колчина — это теорема теории представлений линейных алгебраических групп. Теорема Ли является аналогом для линейных алгебр Ли.

Формулировка

Если G является связной разрешимой линейной алгебраической группой, определённой над алгебраически замкнутым полем, а

${\displaystyle \rho \colon G\to GL(V)}$

представление на ненулевом конечномерном векторном пространстве V, то имеется одномерное линейное подпространство L пространства V, такое что

${\displaystyle \rho (G)(L)=L.}$

То есть, ${\displaystyle \rho (G)}$ имеет инвариантную прямую L, на которой G действует посредством одномерного представления. Это эквивалентно утверждению, что V содержит ненулевой вектор v, который является общим (одновременным) собственным вектором для всех ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$.

Замечания

• Из теоремы немедленно следует, что любое неприводимое конечномерное представление связной разрешимой линейной алгебраической группы G имеет размерность единица. Фактически, это другой способ утверждения теоремы Ли — Колчина.

• Теорема Ли утверждает, что любое ненулевое представление разрешимой алгебры Ли на конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутом поле характеристики 0 имеет одномерное инвариантное подпространство.

• Аналогичный результат для алгебр Ли доказал Софус Ли^[1], а для алгебраических групп доказал Колчин^[2].

• Теорема Бореля о неподвижной точке^[англ.] обобщает теорему Ли — Колчина.

Триангуляризация

Иногда эта теорема упоминается как Теорема Ли — Колчина о триангуляризации, поскольку по индукции из неё следует, что при подходящем базисе в V образ ${\displaystyle \rho (G)}$ имеет треугольный вид. Другими словами, образ группы ${\displaystyle \rho (G)}$ сопряжён в GL(n,K) (где n = dim V) в подгруппу группы T треугольных матриц, стандартной подгруппы Бореля группы GL(n,K) — образ одновременно триангуляризуем.

Теорема верна, в частности, для подгруппы Бореля полупростой линейной алгебраической группы G.

Контрпример

Если поле K не замкнуто алгебраически, теорема может не выполняться. Стандартная единичная окружность, рассматриваемая как множество комплексных чисел ${\displaystyle \{x+iy\in \mathbb {C} \mid x^{2}+y^{2}=1\}}$ с абсолютным значением единица, является одномерной коммутативной (а потому разрешимой) линейной алгебраической группой над вещественными числами, которая имеет двумерное представление в ортогональной группе SO(2) без инвариантной (вещественной) прямой. Здесь образ ${\displaystyle \rho (z)}$ числа ${\displaystyle z=x+iy}$ является ортогональной матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.}$