Разрешимая группа

Разрешимая группа — группа, ряд коммутантов которой заканчивается на тривиальной группе.

Понятие возникло в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах: алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения

Разрешимая группа — группа ${\displaystyle G}$, такая что убывающий ряд

${\displaystyle G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright \cdots ,}$

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если ${\displaystyle H}$ — нормальная подгруппа в ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$ разрешима и факторгруппа ${\displaystyle G/H}$ разрешима, то ${\displaystyle G}$ разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп ${\displaystyle \{1\}=G_{0}\leqslant G_{1}\leqslant \cdots \leqslant G_{k}=G}$, такая что ${\displaystyle G_{j-1}}$ является нормальной подгруппой ${\displaystyle G_{j}}$, и ${\displaystyle G_{j}/G_{j-1}}$ — абелева группа.

Свойства

• Разрешимость конечной группы эквивалентна существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Последнее следует из теоремы о классификации конечнопорождённых абелевых групп.
• Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима^[1].
• Согласно теореме Бёрнсайда, любая группа, порядок которой делится менее чем на три различных простых числа, разрешима.
• Согласно теореме Файта — Томпсона, конечная группа нечётного порядка разрешима.

Примеры

• Все абелевы группы и все нильпотентные группы разрешимы.
• Симметрическая группа ${\displaystyle S_{n}}$ является разрешимой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n\leqslant 4}$.
• Группа невырожденных верхних треугольных матриц ${\displaystyle \mathbf {UT} _{n}}$ разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Все группы порядка, меньшего чем 60, разрешимы. Неразрешимая группа наименьшего порядка — это знакопеременная группа ${\displaystyle A_{5}}$ порядка 60.