Распределение Лапласа

Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |},\quad -\infty <x<+\infty ,}$

Распределение Лапласа
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	${\displaystyle \textstyle \alpha >0}$ — коэффициент масштаба ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$ — коэффициент сдвига
Носитель	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;\infty )}
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}\,e^{-\alpha |x-\beta |}}$
Функция распределения	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta \\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta \end{cases}}}$
Математическое ожидание	${\displaystyle \beta }$
Медиана	${\displaystyle \beta }$
Мода	${\displaystyle \beta }$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$
Коэффициент асимметрии	${\displaystyle 0}$
Коэффициент эксцесса	${\displaystyle 3}$
Дифференциальная энтропия	${\displaystyle \ln {\frac {2e}{\alpha }}}$
Производящая функция моментов	?
Характеристическая функция	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}e^{it\beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}}$

где ${\displaystyle \alpha >0}$ — параметр масштаба, ${\displaystyle -\infty <\beta <+\infty }$ — параметр сдвига.

Функция распределения

По определению, функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-\alpha |t-\beta |}\,dt.}$

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}e^{\alpha (x-\beta )},&x\leqslant \beta ,\\1-{\frac {1}{2}}e^{-\alpha (x-\beta )},&x>\beta .\end{cases}}}$

Проверка свойств полученной функции:

1. ${\displaystyle F(x)}$ не убывает, так как ${\displaystyle f(x)}$ положительна.
2. ${\displaystyle F(\beta -0)=F(\beta +0)={\frac {1}{2}}}$, следовательно, ${\displaystyle F(x)}$ непрерывна в точке ${\displaystyle \beta }$
3. ${\displaystyle F(x)}$ ограничена.
4. Пределы на бесконечностях:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)={\frac {1}{2}}\lim _{x\to -\infty }e^{-\alpha |x-\beta |}=0,}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1-{\frac {1}{2}}\lim _{x\to +\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}=1.}$

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$ при вычислениях необходимо разбить на ${\displaystyle (-\infty ,\beta )}$ и ${\displaystyle [\beta ,+\infty )}$. Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей (${\displaystyle \pm \infty }$) рассматриваются пределы вида ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }r(x)}$. В результате

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx=\beta }$

детали расчёта

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =\int \limits _{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }xe^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }xe^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}xe^{\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}\int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{\alpha (x-\beta )}dx-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}xe^{-\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha }}\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2\alpha }}e^{\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }+{\frac {\beta }{2}}-{\frac {1}{2\alpha }}e^{-\alpha (x-\beta )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=\beta -{\frac {1}{2\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha }}=\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$

детали расчёта

${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{2}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{2}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{2}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {\alpha }{2}}{\frac {x^{2}e^{\alpha (x-\beta )}}{\alpha }}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }-{\frac {\alpha }{2}}{\frac {2}{\alpha }}\int \limits _{-\infty }^{\beta }xe^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {x^{2}e^{-\alpha (x-\beta )}}{-\alpha }}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {2}{\alpha }}\int \limits _{\beta }^{+\infty }xe^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {\beta ^{2}}{2}}-{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{2}}+{\frac {\beta }{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha ^{2}}}=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {D} \xi =\operatorname {E} \xi ^{2}-(\operatorname {E} \xi )^{2}=\beta ^{2}+{\frac {2}{\alpha ^{2}}}-\beta ^{2}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}}$

Моменты

${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}}$,

где ${\displaystyle \left\lfloor s\right\rfloor }$ — целая часть s.

детали расчёта

${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx}$

Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

${\displaystyle \int x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{\alpha (x-\beta )}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{\alpha (x-\beta )}-}$${\displaystyle \ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{\alpha (x-\beta )}+(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{\alpha (x-\beta )}}$

${\displaystyle \int x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=-{\frac {1}{\alpha }}x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}x^{k-1}e^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}x^{k-2}e^{-\alpha (x-\beta )}-}$${\displaystyle \ldots -{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}xe^{-\alpha (x-\beta )}-{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}e^{-\alpha (x-\beta )}}$

После подстановок пределов интегрирования:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\beta }x^{k}e^{\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}-{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}-}$ ${\displaystyle \ldots +(-1)^{k-1}{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +(-1)^{k}{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}}$

${\displaystyle \int \limits _{\beta }^{+\infty }x^{k}e^{-\alpha (x-\beta )}dx={\frac {1}{\alpha }}\beta ^{k}+{\frac {k}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-1}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{3}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k}}}\beta +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k+1}}}}$

Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}={\begin{cases}\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha ^{k}}},&k=2n\\\beta ^{k}+{\frac {k(k-1)}{\alpha ^{2}}}\beta ^{k-2}+\ldots +{\frac {k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha ^{k-1}}}\beta ,&k=2n+1\end{cases}}}$

Или, в общем виде:

${\displaystyle \operatorname {E} \xi ^{k}=\sum _{i=0}^{\left\lfloor k/2\right\rfloor }{\frac {\beta ^{k-2i}}{\alpha ^{2i}}}{\frac {k!}{(k-2i)!}}}$, где ${\displaystyle \left\lfloor s\right\rfloor }$ — целая часть s.

Характеристическая функция

${\displaystyle \phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha ^{2}e^{it\beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}}$

детали расчёта

${\displaystyle \phi (t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }e^{itx}f(x)dx={\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{itx}e^{\alpha (x-\beta )}dx+{\frac {\alpha }{2}}\int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{itx}e^{-\alpha (x-\beta )}dx}$

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера ${\displaystyle \textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ и классический пример нахождения интегралов вида ${\displaystyle \int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx}$ и ${\displaystyle \int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx}$ (см. Интегрирование по частям:Примеры):

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\beta }e^{itx}e^{\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{-\infty }^{\beta }(\cos tx+i\sin tx)e^{\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{-\infty }^{\beta }\cos tx\,e^{\alpha (x-\beta )}dx+i\int \limits _{-\infty }^{\beta }\sin tx\,e^{\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {e^{\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha \cos tx+t\sin tx{\Big )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }+i{\frac {e^{\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}a\sin tx-t\cos tx{\Big )}{\bigg |}_{-\infty }^{\beta }=}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha e^{it\beta }+t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}}$

${\displaystyle \int \limits _{\beta }^{+\infty }e^{itx}e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+\infty }(\cos tx+i\sin tx)e^{-\alpha (x-\beta )}dx=\int \limits _{\beta }^{+\infty }\cos tx\,e^{-\alpha (x-\beta )}dx+i\int \limits _{\beta }^{+\infty }\sin tx\,e^{-\alpha (x-\beta )}dx=}$ ${\displaystyle ={\frac {e^{-\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}-\alpha \cos tx+t\sin tx{\Big )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }+i{\frac {e^{-\alpha (x-\beta )}}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}-a\sin tx-t\cos tx{\Big )}{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha e^{it\beta }-t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}}$

Окончательно характеристическая функция есть:

${\displaystyle \phi (t)={\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}ae^{it\beta }+t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {1}{\alpha ^{2}+t^{2}}}{\Big (}\alpha e^{it\beta }-t(i\cos t\beta -\sin t\beta ){\Big )}={\frac {\alpha ^{2}e^{it\beta }}{\alpha ^{2}+t^{2}}}}$

Применение&nbsp; &nbsp;

Распределение применяется для моделирования обработки сигналов, в моделировании биологических процессов, экономике и финансах. Распределение можно применить:   

• к кредитным рискам;
• к страховым случаям;   
• при работе с фильтром Кальмана.