Распределение Трейси — Видома

Распределение Трейси — Видома — статистическое распределение, введённое Крэйгом Трейси^[англ.] и Гарольдом Видомом для описания нормированного наибольшего собственного значения случайной эрмитовой матрицы^[1].

Вид функций плотности вероятности распределений Трейси — Видома F₁, F₂ и F₄

В прикладном отношении, распределение Трейси — Видома — это функция перехода между двумя фазами системы: со слабосвязанными и с сильносвязанными компонентами^[2]. Оно также возникает как распределение длины наибольшей увеличивающейся подпоследовательности случайных перестановок^[3], во флуктуациях потока асимметричного процесса с простыми исключениями^[англ.] с шаговым начальным условием^[4][5] и в упрощённых математических моделях поведения в задаче о наибольшей общей подпоследовательности случайных вводов^[6][7].

Распределение F₁ особенно интересно с точки зрения многомерной статистики^{[англ.] [8][9][10][11]}.

Определение

Распределение Трейси — Видома определяется как предел^[12]

${\displaystyle F_{\beta }(s)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\rm {Prob}}\left((\lambda _{\rm {max}}-{\sqrt {2n}})({\sqrt {2}})n^{1/6}\leq s\right){\mbox{,}}}$

где ${\displaystyle \lambda _{\rm {max}}}$ — наибольшее собственное число случайной матрицы ${\displaystyle n\times n}$ стандартного (для компонентов матрицы ${\displaystyle \sigma =1/{\sqrt {2}}}$) гауссова ансамбля: при β=1 — ортогонального, при β=2 — унитарного, при β=4 — симплектического. Сдвиг ${\displaystyle {\sqrt {2n}}}$ используется, чтобы центрировать распределение в точке 0. Множитель ${\displaystyle ({\sqrt {2}})n^{1/6}}$ используется, поскольку стандартное отклонение распределения масштабируется как ${\displaystyle n^{-1/6}}$.

Эквивалентные представления

Функция распределения Трейси — Видома для унитарных ансамблей (${\displaystyle \beta =2}$) может быть представлена как фредгольмов определитель^[англ.]

${\displaystyle F_{2}(s)=\det(I-A_{s})}$

оператора ${\displaystyle A_{s}}$ на интегрируемой с квадратом функции на луче ${\displaystyle (s,\infty )}$ ядром в понятиях функций Эйри ${\displaystyle \mathrm {Ai} }$ через

${\displaystyle {\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}.}$

Также её можно представить интегралом

${\displaystyle F_{2}(s)=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)}$

через решение уравнения Пенлеве^[англ.] II

${\displaystyle q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}\,{\mbox{,}}}$

где ${\displaystyle q}$, называемое решением Гастингса—Мак-Леода, удовлетворяет граничным условиям:

${\displaystyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\rightarrow \infty .}$

Другие распределения Трейси — Видома

Распределения Трейси — Видома ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{4}}$ для ортогональных (${\displaystyle \beta =1}$) и симплектических (${\displaystyle \beta =4}$) ансамблей также выразимы через трансцендент Пенлеве^[англ.] ${\displaystyle q}$^[13]:

${\displaystyle F_{1}(s)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}}$

и

${\displaystyle F_{4}(s/{\sqrt {2}})=\mathrm {ch} \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.}$

Существует расширение этого определения на случаи ${\displaystyle F_{\beta }}$ при всех ${\displaystyle \beta >0}$^[14].

Численные приближения

Численные методы получения приближённых решений уравнений Пенлеве II и Пенлеве V и численно определённые распределения собственных значений случайных матриц в бета-ансамблях впервые были представлены в 2005 году^[15] (использовался MATLAB). Эти приближённые методы позднее были аналитически уточнены^[16] и используются для получения численного анализа Пенлеве II и распределений Трейси — Видома (для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$) в S-PLUS. Эти распределения были табулированы^[16] до четырёх значащих цифр по значениям аргумента с шагом 0.01; в работе также присутствовала статистическая таблица p-значений. В 2009 году^[17] даны точные и быстрые алгоритмы численного определения ${\displaystyle F_{\beta }}$ и функций плотности ${\displaystyle \textstyle f_{\beta }(s)={dF_{\beta } \over ds}}$ для ${\displaystyle \beta =1,2,4}$. По этим алгоритмам можно численно подсчитать среднее значение, дисперсию, асимметрию и эксцесс распределений ${\displaystyle F_{\beta }}$.

β	Среднее	Дисперсия	Коэффициент асимметрии	Эксцесс
1	−1.2065335745820	1.607781034581	0.29346452408	0.1652429384
2	−1.771086807411	0.8131947928329	0.224084203610	0.0934480876
4	−2.306884893241	0.5177237207726	0.16550949435	0.0491951565

Функции для работы с законами Трейси — Видома также представлены в пакете для R RMTstat^[18] и в пакете для MATLAB RMLab^[19].

Вычислено также простое приближение на основе смещённых гамма-распределений^[20].