Распределение variance-gamma

Распределение variance-gamma — распределение вероятностей, является нормальной смесью дисперсии-среднего, в которой в качестве взвешивающей плотности взята плотность гамма-распределения. Распределение обладает «тяжелыми хвостами» (тяжелее, чем у нормального распределения), поэтому подходит для моделирования ситуаций в которых появление больших значений случайной величины более вероятно. Примерами могут служить прибыль финансовых активов и скорости турбулентных воздушных потоков. Семейство распределений variance-gamma является подклассом обобщенных гиперболических распределений.

Распределение variance-gamma
Параметры	${\displaystyle \mu }$ (вещественное число) ${\displaystyle \alpha }$ (вещественное число) ${\displaystyle \beta }$ коэффициент асимметрии (вещественное число) ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}>0}$
Носитель	${\displaystyle x\in (-\infty$ ;+\infty )}
Плотность вероятности	${\displaystyle {\frac {\gamma ^{2\lambda }|x-\mu |^{\lambda -1/2}K_{\lambda -1/2}\left(\alpha |x-\mu |\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\lambda )(2\alpha )^{\lambda -1/2}}}\;e^{\beta (x-\mu )}}$ ${\displaystyle K_{\lambda }}$ обозначает модифицированную функцию Бесселя второго рода ${\displaystyle \Gamma }$ обозначает Гамма-функцию
Математическое ожидание	${\displaystyle \mu +2\beta \lambda /\gamma ^{2}}$
Дисперсия	${\displaystyle 2\lambda (1+2\beta ^{2}/\gamma ^{2})/\gamma ^{2}}$
Производящая функция моментов	${\displaystyle e^{\mu z}\left(\gamma /{\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}}\right)^{2\lambda }}$

Обобщение

Обобщением распределения variance-gamma является обобщённое гиперболическое распределение.